Dois vetores, cujos módulos são de 4 e 6 unidades de comprimento, formam um ângulo de a) 00 , b) 600 , c) 90 , 180․ Determine o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultante com relação ao vetor menor.

Passo 1

Então, temos dois vetores com módulos de 4 e 6 unidades que formam um certo ângulo. A gente precisa achar o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultante em relação ao vetor menor. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e trigonometria, especialmente a regra do paralelogramo e as leis dos cossenos e senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como somar dois vetores. Quando dois vetores formam um ângulo, a soma deles forma a diagonal do paralelogramo construído com esses vetores. Para encontrar o módulo da soma, usamos a fórmula:
|R| = raizA^2 + B^2 + 2AB cos theta
onde e são os módulos dos vetores e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o módulo da soma para cada um dos ângulos fornecidos:

a) Ângulo de |R| = raiz4^2 + 6^2 + 2 times 4 times 6 times cos 0^circ = raiz16 + 36 + 48 = raiz100 = 10

Quando os vetores estão na mesma direção ( |R| = raiz4^2 + 6^2 + 2 times 4 times 6 times cos 60^circ = raiz16 + 36 + 48 times 0,5 = raiz16 + 36 + 24 = raiz76 approx 8,72 ):
|R| = raiz4^2 + 6^2 + 2 times 4 times 6 times cos 90^circ = raiz16 + 36 + 0 = raiz52 approx 7,21

b) Ângulo de |R| = raiz4^2 + 6^2 + 2 times 4 times 6 times cos 180^circ = raiz16 + 36 - 48 = raiz4 = 2

Para um ângulo de :

c) Ângulo de

Quando os vetores são perpendiculares:

d) Ângulo de

Se os vetores estão em direções opostas:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a direção do vetor resultante em relação ao vetor menor (de módulo 4). A direção pode ser calculada usando a tangente do ângulo tan phi = B sin thetaA + B cos theta que o vetor resultante faz com o vetor menor:
tan phi = 6 times 04 + 6 times 1 = 0 Rightarrow phi = 0^circ
onde tan phi = 6 times sin 60^circ4 + 6 times cos 60^circ = 6 times raiz324 + 6 times 12 = 3raiz37 Rightarrow phi approx 40,89^circ , tan phi = 6 times sin 90^circ4 + 6 times cos 90^circ = 6 times 14 + 0 = 64 = 1,5 Rightarrow phi approx 56,31^circ e tan phi = 6 times sin 180^circ4 + 6 times cos 180^circ = 04 - 6 = 0 Rightarrow phi = 0^circ é o ângulo entre eles.
Vamos calcular para cada caso:

a)

b)

c)

d)

Resposta

Dependendo do ângulo entre os vetores:
a) : Soma = 10 unidades, direção em relação ao vetor menor.
b) : Soma ≈ 8,72 unidades, direção ≈ .
c) : Soma ≈ 7,21 unidades, direção ≈ .
d) : Soma = 2 unidades, direção em relação ao vetor menor.

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