Calcular o polinômio de Legendre P4(x) usando a fórmula de Rodrigues
P_n(x) = 1/(2^n n!) d^n/(d x^n)((x^2-1)^n)
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o polinômio de Legendre usando a fórmula de Rodrigues. A matéria envolvida aqui são os polinômios de Legendre, que são importantes em várias áreas da matemática e física, especialmente em problemas de teoria de potenciais e mecânica quântica. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula de Rodrigues e calcular derivadas de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre:
Aqui, é o grau do polinômio. Nosso objetivo é encontrar , então .

Passo 3

Substituindo na fórmula, temos:
Vamos calcular passo a passo cada parte dessa expressão.

Passo 4

Primeiro, calculamos e :
Então, a constante na frente da derivada fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a quarta derivada de . Vamos expandir usando o binômio de Newton:
Calculando os termos:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular a quarta derivada dessa expressão:
Derivando termo a termo:

Somando todas as contribuições:

Passo 7

Agora, multiplicamos essa derivada pela constante que encontramos no Passo 4:
Simplificando cada termo:

Então:

Resposta

O polinômio de Legendre de grau 4 é:

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