Calcular o polinômio de Legendre
usando a fórmula de Rodrigues
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o polinômio de Legendre
usando a fórmula de Rodrigues. A matéria envolvida aqui são os polinômios de Legendre, que são importantes em várias áreas da matemática e física, especialmente em problemas de teoria de potenciais e mecânica quântica. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula de Rodrigues e calcular derivadas de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre:
Aqui,
é o grau do polinômio. Nosso objetivo é encontrar
, então
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula, temos:
Vamos calcular passo a passo cada parte dessa expressão.
Passo 4
Primeiro, calculamos
e
:
Então, a constante na frente da derivada fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a quarta derivada de
. Vamos expandir
usando o binômio de Newton:
Calculando os termos:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular a quarta derivada dessa expressão:
Derivando termo a termo:
Somando todas as contribuições:
Somando todas as contribuições:
Passo 7
Agora, multiplicamos essa derivada pela constante que encontramos no Passo 4:
Simplificando cada termo:
Então:
Então:
Resposta
O polinômio de Legendre de grau 4 é:
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- (1 PONTO) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(a);
Determine o volume do sólido limitado pelos planos
.
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
, para
;
Calcular o polinômio de Legendre
usando a fórmula
onde
se
é par e
se
é ímpar.