Determine o volume do sólido limitado pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que está limitado por quatro planos:
,
,
e
. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente usando integrais múltiplas para calcular volumes. Vamos precisar entender bem como esses planos se interceptam e definir os limites de integração para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar como esses planos se encontram no espaço. O plano
é basicamente o plano xy. O plano
inclina-se em relação ao eixo x. Os planos
e
são planos no espaço xy.
Para facilitar, vamos projetar a região no plano xy, onde
, e ver como estão os limites
e
. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração para x e y.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Substituindo
por
na segunda equação:
Então, eles se intersectam quando
e
. Agora, sabemos que a região no plano xy vai de
a
, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 4
Agora, vamos pensar em
. O sólido está limitado de baixo por
e de cima por
. Então, para cada ponto (x, y) na região que definimos,
varia de 0 até
.
Com isso, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral mais interna em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral:
Em seguida, resolvemos a integral em relação a
:
Agora, a integral fica:
Por fim, resolvemos essa última integral em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Simplifique as expressões:
Utilize coordenadas esféricas para calcular a seguinte integral:
; onde
é limitado abaixo pelo cone
e acima pela esfera
Revisão: números reais, módulos e inequações
- (1 PONTO) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(a);
Calcular o polinômio de Legendre
usando a fórmula de Rodrigues
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.