Determine o volume do sólido limitado pelos planos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que está limitado por quatro planos: , , e . Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente usando integrais múltiplas para calcular volumes. Vamos precisar entender bem como esses planos se interceptam e definir os limites de integração para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como esses planos se encontram no espaço. O plano é basicamente o plano xy. O plano inclina-se em relação ao eixo x. Os planos e são planos no espaço xy.
Para facilitar, vamos projetar a região no plano xy, onde , e ver como estão os limites e . Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração para x e y.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Substituindo por na segunda equação:
Então, eles se intersectam quando e . Agora, sabemos que a região no plano xy vai de a , e para cada valor de , varia de até .

Passo 4

Agora, vamos pensar em . O sólido está limitado de baixo por e de cima por . Então, para cada ponto (x, y) na região que definimos, varia de 0 até .
Com isso, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral mais interna em relação a :
Agora, substituímos isso na integral:
Em seguida, resolvemos a integral em relação a :
Agora, a integral fica:
Por fim, resolvemos essa última integral em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Simplifique as expressões:
Utilize coordenadas esféricas para calcular a seguinte integral:
; onde é limitado abaixo pelo cone e acima pela esfera

Revisão: números reais, módulos e inequações

  1. (1 PONTO) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
    (a) ;
Calcular o polinômio de Legendre usando a fórmula de Rodrigues
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.