Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! , para ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma afirmação que relaciona duas desigualdades: e . Nosso objetivo é descobrir se essa relação de “se e somente se” ( ) é verdadeira ou falsa para qualquer valor de diferente de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver desigualdades com variáveis no denominador e analisar os sinais das expressões envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a desigualdade . Para isso, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que, dependendo do sinal de , a desigualdade pode inverter):
Agora, isolando :
Então, a desigualdade simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos analisar a bicondicional . Isso significa que ambas as desigualdades devem ser verdadeiras ao mesmo tempo. No passo anterior, vimos que implica . Vamos verificar o contrário: se , isso implica ?
Para , precisamos considerar o sinal de :
  • Se for positivo: A solução satisfaz .
  • Se for negativo: A expressão será negativa, e a desigualdade seria falsa, já que 3 é positivo e é negativo.
No entanto, a bicondicional exige que ambas as implicações sejam verdadeiras. Como no caso de negativo a desigualdade não se mantém, a relação não é verdadeira para todos os .

Resposta

Falsa. A condição implica que , mas o inverso não é sempre verdadeiro, especialmente quando é negativo. Portanto, a bicondicional não vale para todos os valores de .

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  1. (1 PONTO) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
    (a) ;
Calcular o polinômio de Legendre usando a fórmula
onde se é par e se é ímpar.
Calcule o , onde