Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
, para
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma afirmação que relaciona duas desigualdades:
e
. Nosso objetivo é descobrir se essa relação de “se e somente se” (
) é verdadeira ou falsa para qualquer valor de
diferente de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver desigualdades com variáveis no denominador e analisar os sinais das expressões envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que, dependendo do sinal de
, a desigualdade pode inverter):
Agora, isolando
:
Então, a desigualdade
simplifica para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a bicondicional
. Isso significa que ambas as desigualdades devem ser verdadeiras ao mesmo tempo. No passo anterior, vimos que
implica
. Vamos verificar o contrário: se
, isso implica
?
Para
, precisamos considerar o sinal de
:
- Se
for positivo: A solução satisfaz . - Se
for negativo: A expressão será negativa, e a desigualdade seria falsa, já que 3 é positivo e é negativo.
No entanto, a bicondicional exige que ambas as implicações sejam verdadeiras. Como no caso de
negativo a desigualdade não se mantém, a relação não é verdadeira para todos os
.
Resposta
Falsa. A condição
implica que
, mas o inverso não é sempre verdadeiro, especialmente quando
é negativo. Portanto, a bicondicional não vale para todos os valores de
.
Exercícios relacionados
Calcular o polinômio de Legendre
usando a fórmula de Rodrigues
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.
Revisão: números reais, módulos e inequações
- (1 PONTO) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(a);
Calcular o polinômio de Legendre
usando a fórmula
onde
se
é par e
se
é ímpar.
Calcule o
, onde