Calcular o polinômio de Legendre usando a fórmula
onde se é par e se é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o polinômio de Legendre usando a fórmula que você me deu. A gente vai precisar usar conceitos de somatórios, fatorial e potências. Basicamente, vamos seguir a fórmula passo a passo para achar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar. Aqui, , que é par. Então, usando a fórmula para , temos:
Portanto, nosso somatório vai de até .

Passo 3

Agora, vamos montar o somatório da fórmula:
Simplificando o :
Então, a expressão fica:

Passo 4

Vamos calcular cada termo do somatório individualmente.
Para :
Calculando os fatoriais:
Então:
Portanto, o termo é:
Para :
Calculando os fatoriais:
Então:
Portanto, o termo é:
Para :
Lembrando que :
Portanto, o termo é:

Passo 5

Agora, vamos somar todos os termos que calculamos:
E multiplicar pelo fator :

Passo 6

Vamos simplificar multiplicando cada termo por :
Simplificando as frações:

Resposta

O polinômio de Legendre de ordem 4 é:

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