Calcular o polinômio de Legendre P4(x) usando a fórmula
Pn(x)=12^n sumk=0^M (-1)^k(2 n-2 k)!k!(n-k)!(n-2 k)! x^n-2 k
onde M=n2 se n é par e M=n-12 se n é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o polinômio de Legendre usando a fórmula que você me deu. A gente vai precisar usar conceitos de somatórios, fatorial e potências. Basicamente, vamos seguir a fórmula passo a passo para achar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar. Aqui, M = n2 = 42 = 2 , que é par. Então, usando a fórmula para , temos:
Portanto, nosso somatório vai de até .

Passo 3

Agora, vamos montar o somatório da fórmula:
P4(x) = 12^4 sumk=0^2 (-1)^k (2 times 4 - 2k)!k! (4 - k)! (4 - 2k)! x^4 - 2k
Simplificando o 2n = 8 :
P4(x) = 116 sumk=0^2 (-1)^k (8 - 2k)!k! (4 - k)! (4 - 2k)! x^4 - 2k
Então, a expressão fica:

Passo 4

Vamos calcular cada termo do somatório individualmente.
Para (-1)^0 (8 - 0)!0! (4 - 0)! (4 - 0)! x^4 - 0 = 1 times 8!1 times 4! times 4! x^4 :
8! = 40320, 4! = 24
Calculando os fatoriais:
403201 times 24 times 24 = 40320576 = 70
Então:
70 x^4
Portanto, o termo é:
(-1)^1 (8 - 2)!1! (4 - 1)! (4 - 2)! x^4 - 2 = -1 times 6!1 times 3! times 2! x^2
Para 6! = 720, 3! = 6, 2! = 2 :
-7201 times 6 times 2 = -72012 = -60
Calculando os fatoriais:
-60 x^2
Então:
(-1)^2 (8 - 4)!2! (4 - 2)! (4 - 4)! x^4 - 4 = 1 times 4!2 times 2! times 0! x^0
Portanto, o termo é:
242 times 2 times 1 = 244 = 6
Para 6 :
Lembrando que :
Portanto, o termo é:

Passo 5

Agora, vamos somar todos os termos que calculamos:
70x^4 - 60x^2 + 6
E multiplicar pelo fator P4(x) = 116 (70x^4 - 60x^2 + 6) :

Passo 6

Vamos simplificar multiplicando cada termo por P4(x) = 7016x^4 - 6016x^2 + 616 :
P4(x) = 358x^4 - 154x^2 + 38
Simplificando as frações:

Resposta

O polinômio de Legendre de ordem 4 é:
P4(x) = 358x^4 - 154x^2 + 38

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