Calcular o ponto de intersecção das retas
r:l x=5+lambda y=2-lambda, lambda in R e s: x-22=-y-3=-z+5-4 z=7-2 lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o ponto de intersecção entre duas retas, chamadas de e . A matéria que vamos usar aqui é geometria analítica, mais especificamente, a parte que estuda as equações das retas no espaço tridimensional. Vamos precisar igualar as coordenadas das duas retas para encontrar os valores dos parâmetros que fazem os pontos serem os mesmos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das duas retas de forma clara. A reta x = 5 + lambda y = 2 - lambda z = 7 - 2lambda está parametrizada por x - 22 = -y-3 = -z + 5-4 :
Já a reta está definida por:
Vamos chamar esse parâmetro comum de para facilitar.

Passo 3

Vamos parametrizar a reta x = 2 + 2mu y = 3mu z = 5 + 4mu usando :
Agora temos as equações das duas retas em termos dos parâmetros e .

Passo 4

Para encontrar o ponto de intersecção, precisamos que as coordenadas 5 + lambda = 2 + 2mu 2 - lambda = 3mu 7 - 2lambda = 5 + 4mu , e sejam iguais para as duas retas. Então, vamos igualar as equações correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação:
2 - lambda = 3mu Rightarrow lambda = 2 - 3mu
Agora, substituímos 5 + (2 - 3mu) = 2 + 2mu 7 - 3mu = 2 + 2mu 7 - 2 = 2mu + 3mu 5 = 5mu mu = 1 na primeira equação:

Passo 6

Com lambda = 2 - 3(1) = 2 - 3 = -1 , vamos encontrar :

Passo 7

Agora, substituímos x = 5 + (-1) = 4 y = 2 - (-1) = 3 z = 7 - 2(-1) = 7 + 2 = 9 em uma das equações da reta para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção:

Resposta

O ponto de intersecção das retas e é .

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