Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I. (1,1,1),(-3,-3,-3) em R^3;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores (1,1,1), (-3,-3,-3) no espaço tridimensional R^3 e precisamos verificar se eles são linearmente independentes (L.I.). Para isso, vamos precisar saber o que significa vetores serem linearmente independentes e como testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Em termos matemáticos, para vetores v1 e v2, eles são L.I. se a única solução para a equação c1v1 + c2v2 = 0 for c1 = 0 e c2 = 0.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores dados. Seja v1 = (1,1,1) e v2 = (-3,-3,-3). Queremos saber se existem constantes c1 e c2, diferentes de zero, que satisfazem a equação:
c1(1,1,1) + c2(-3,-3,-3) = (0,0,0)

Passo 4

Vamos escrever as componentes dessa equação:
c1 cdot 1 + c2 cdot (-3) = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot (-3) = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot (-3) = 0
Perceba que todas as três equações são iguais, então basta resolver uma delas:
c1 - 3c2 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação c1 - 3c2 = 0, temos:
c1 = 3c2
Isso significa que existem infinitas soluções para c1 e c2, onde c2 pode ser qualquer número real e c1 será três vezes esse número.

Passo 6

Como existem soluções diferentes de c1 = 0 e c2 = 0 que satisfazem a equação, isso implica que os vetores v1 e v2 são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto de vetores (1,1,1), (-3,-3,-3) em R^3 é linearmente dependente.

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