Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I. em ;
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço tridimensional e precisamos verificar se eles são linearmente independentes (L.I.). Para isso, vamos precisar saber o que significa vetores serem linearmente independentes e como testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Em termos matemáticos, para vetores e , eles são L.I. se a única solução para a equação for e .
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos vetores dados. Seja e . Queremos saber se existem constantes e , diferentes de zero, que satisfazem a equação:
Passo 4
Vamos escrever as componentes dessa equação:
Perceba que todas as três equações são iguais, então basta resolver uma delas:
c1 - 3c2 = 0
Passo 5
Resolvendo a equação c1 - 3c2 = 0, temos:
c1 = 3c2
Isso significa que existem infinitas soluções para c1 e c2, onde c2 pode ser qualquer número real e c1 será três vezes esse número.
Passo 6
Como existem soluções diferentes de c1 = 0 e c2 = 0 que satisfazem a equação, isso implica que os vetores v1 e v2 são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto de vetores (1,1,1), (-3,-3,-3) em R^3 é linearmente dependente.