Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I. (-3,-3,-3),(1,1,0),(0,2,0),(1,0,0) em R^3;

Passo 1

Então, bora lá! A gente tem essa questão que pede para saber se o conjunto de vetores (-3,-3,-3),(1,1,0),(0,2,0),(1,0,0) em R^3 é linearmente independente (L.I.). O assunto aqui é álgebra linear, mais especificamente sobre independência linear dos vetores. A gente vai precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e usar isso para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso significa que nenhuma combinação linear desses vetores dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes na combinação sejam zero. Em outras palavras, se temos:
a1 cdot v1 + a2 cdot v2 + a3 cdot v3 + a4 cdot v4 = 0
A única solução possível é a1 = a2 = a3 = a4 = 0.

Passo 3

Vamos então montar essa combinação linear com os vetores dados:
a1(-3, -3, -3) + a2(1, 1, 0) + a3(0, 2, 0) + a4(1, 0, 0) = (0, 0, 0)
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
-3a1 + a2 + a4 = 0 -3a1 + a2 + 2a3 = 0 -3a1 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A partir da terceira equação:
-3a1 = 0 Rightarrow a1 = 0
Agora, substituímos a1 = 0 nas duas primeiras equações:
0 + a2 + a4 = 0 0 + a2 + 2a3 = 0
Isso simplifica para:
a2 + a4 = 0 a2 + 2a3 = 0

Passo 5

Da primeira equação, temos a4 = -a2. Substituindo isso na segunda equação:
a2 + 2a3 = 0 Rightarrow a2 = -2a3
Então, temos:
a4 = -a2 = 2a3
Isso mostra que a2 e a4 podem ser expressos em função de a3, que pode ser qualquer número real.

Passo 6

Como encontramos uma solução onde a3 pode ser diferente de zero (por exemplo, se a3 = 1, então a2 = -2 e a4 = 2), isso significa que existem coeficientes não nulos que satisfazem a combinação linear igual ao vetor zero. Portanto, os vetores não são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto de vetores (-3,-3,-3),(1,1,0),(0,2,0),(1,0,0) em R^3 não é linearmente independente.

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