Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Durar entre 800 e 1.200 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória , cuja f. d. p. é:

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Então, a gente precisa calcular a probabilidade de uma lâmpada durar entre 800 e 1.200 horas. A duração da lâmpada, chamada de variável aleatória , segue uma distribuição de probabilidade contínua, mais especificamente uma distribuição exponencial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de densidade de probabilidade (f.d.p.) e função distribuição acumulada (f.d.a.).

Passo 2

Identificando a função de densidade de probabilidade (f.d.p.)
A função de densidade de probabilidade dada é:
Isso significa que a probabilidade de a lâmpada durar exatamente um tempo é dada por essa função. A distribuição é exponencial com parâmetro .

Passo 3

Entendendo a função distribuição acumulada (f.d.a.)
A função distribuição acumulada nos dá a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a . Para a distribuição exponencial, a f.d.a. é:
Substituindo :

Passo 4

Calculando a probabilidade desejada
Queremos . Isso pode ser encontrado subtraindo a f.d.a. em 800 da f.d.a. em 1200:
Substituindo a expressão da f.d.a.:
Simplificando:

Passo 5

Calculando os valores numéricos
Vamos calcular os expoentes:
Subtraindo:

Resposta

A probabilidade de uma lâmpada durar entre 800 e 1.200 horas é aproximadamente 14,8%.

Exercícios relacionados

Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .
Realize uma análise descritiva dos dados. Calcule média e desvio padrão para cada variável e para a variável DIF (diferença entre as concentrações dos poluentes).
Dada a f. d. p. de uma variável aleatória :
calcular .
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Se queimar antes de 1.000 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória , cuja f. d. p. é: