Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Durar entre 800 e 1.200 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória T, cuja f. d. p. é:
f(t)=lc 11.000 e^-t / f 000, & para t >= 0 (em horas) 0 & se t<0

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Então, a gente precisa calcular a probabilidade de uma lâmpada durar entre 800 e 1.200 horas. A duração da lâmpada, chamada de variável aleatória , segue uma distribuição de probabilidade contínua, mais especificamente uma distribuição exponencial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de densidade de probabilidade (f.d.p.) e função distribuição acumulada (f.d.a.).

Passo 2

Identificando a função de densidade de probabilidade (f.d.p.)
A função de densidade de probabilidade dada é:
f(t) = 11000 e^-t / 1000, & para t >= 0 0, & se t < 0
Isso significa que a probabilidade de a lâmpada durar exatamente um tempo é dada por essa função. A distribuição é exponencial com parâmetro .

Passo 3

Entendendo a função distribuição acumulada (f.d.a.)
A função distribuição acumulada F(t) = 1 - e^-lambda t nos dá a probabilidade de a variável aleatória F(t) = 1 - e^-t / 1000 ser menor ou igual a . Para a distribuição exponencial, a f.d.a. é:
Substituindo :

Passo 4

Calculando a probabilidade desejada
Queremos P(800 <= T <= 1200) = F(1200) - F(800) . Isso pode ser encontrado subtraindo a f.d.a. em 800 da f.d.a. em 1200:
P(800 <= T <= 1200) = (1 - e^-1200 / 1000) - (1 - e^-800 / 1000)
Substituindo a expressão da f.d.a.:
P(800 <= T <= 1200) = e^-800 / 1000 - e^-1200 / 1000
Simplificando:

Passo 5

Calculando os valores numéricos
Vamos calcular os expoentes:
e^-0.8 approx 0.4493
e^-1.2 approx 0.3012
Subtraindo:
P(800 <= T <= 1200) approx 0.4493 - 0.3012 = 0.1481

Resposta

A probabilidade de uma lâmpada durar entre 800 e 1.200 horas é aproximadamente 14,8%.

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