Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Se queimar antes de 1.000 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória , cuja f. d. p. é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 1.000 horas. Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Distribuições de Variáveis Aleatórias, especificamente a Distribuição Exponencial. Vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a função densidade de probabilidade (f.d.p.) fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade (f.d.p.) que descreve a duração da lâmpada. A f.d.p. é dada por:
Isso significa que a variável aleatória segue uma Distribuição Exponencial com parâmetro .

Passo 3

A probabilidade de a lâmpada queimar antes de 1.000 horas é representada por . Para distribuições contínuas como a exponencial, essa probabilidade é calculada pela integral da f.d.p. de 0 até 1.000:

Passo 4

Substituindo a f.d.p. na integral, temos:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de é:
Então, aplicando os limites de 0 a 1.000:

Passo 6

Calculando o valor numérico:
Portanto:

Resposta

A probabilidade de a lâmpada queimar antes de 1.000 horas é aproximadamente 63,21%.

Exercícios relacionados

Dada a f. d. p. de uma variável aleatória :
calcular .
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Durar entre 800 e 1.200 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória , cuja f. d. p. é:
Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .
Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .