Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Se queimar antes de 1.000 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória T, cuja f. d. p. é:
f(t)=lc 11.000 e^-t / f 000, & para t >= 0 (em horas) 0 & se t<0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 1.000 horas. Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Distribuições de Variáveis Aleatórias, especificamente a Distribuição Exponencial. Vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a função densidade de probabilidade (f.d.p.) fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade (f.d.p.) que descreve a duração da lâmpada. A f.d.p. é dada por:
f(t) = lc 11000 e^-t / 1000, & para t >= 0 (em horas) 0, & se t < 0
Isso significa que a variável aleatória segue uma Distribuição Exponencial com parâmetro .

Passo 3

A probabilidade de a lâmpada queimar antes de 1.000 horas é representada por P(T < 1000) = integral0^1000 f(t) , dt . Para distribuições contínuas como a exponencial, essa probabilidade é calculada pela integral da f.d.p. de 0 até 1.000:

Passo 4

Substituindo a f.d.p. na integral, temos:
P(T < 1000) = integral0^1000 11000 e^-t / 1000 , dt

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de integral e^-t / 1000 , dt = -1000 e^-t / 1000 + C é:
P(T < 1000) = [ -e^-t / 1000 ]0^1000 = -e^-1 + e^0 = 1 - e^-1
Então, aplicando os limites de 0 a 1.000:

Passo 6

Calculando o valor numérico:
e^-1 approx 0,3679
Portanto:
P(T < 1000) = 1 - 0,3679 = 0,6321

Resposta

A probabilidade de a lâmpada queimar antes de 1.000 horas é aproximadamente 63,21%.

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