Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser consideradas f. d. p. Calcular E(X) e VAR(X).
f(x)= K(2-x) & se 0 <= x <= 1 0 & se x<0 ou x>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar para quais valores de a função pode ser considerada uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Além disso, precisamos calcular o valor esperado e a variância dessa função. Para isso, vamos lembrar que, para ser uma f.d.p., ela precisa satisfazer duas condições principais:
  1. deve ser não negativa para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(x) = K(2 - x) & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário que faz com que integral0^1 K(2 - x) , dx = 1 seja uma f.d.p.
A função dada é:
integral0^1 (2 - x) , dx = [2x - x^22]0^1 = (2(1) - 1^22) - (0 - 0) = 2 - 12 = 32 á
Como K cdot 32 = 1 implies K = 23 é zero fora do intervalo , só precisamos integrar de 0 a 1 e igualar a 1:
Vamos calcular essa integral:
Então:

Passo 3

Agora que sabemos que E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx , vamos calcular o valor esperado E(X) = integral0^1 x cdot 23(2 - x) , dx = 23 integral0^1 (2x - x^2) , dx . A fórmula para integral0^1 (2x - x^2) , dx = [x^2 - x^33]0^1 = (1 - 13) - 0 = 23 é:
E(X) = 23 cdot 23 = 49
Como é zero fora de , simplificamos para:
Calculando a integral:
Portanto:

Passo 4

Vamos calcular a variância VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 . A fórmula para a variância é:
E(X^2) = integral0^1 x^2 cdot 23(2 - x) , dx = 23 integral0^1 (2x^2 - x^3) , dx
Primeiro, encontramos integral0^1 (2x^2 - x^3) , dx = [2x^33 - x^44]0^1 = (23 - 14) - 0 = 812 - 312 = 512 :
E(X^2) = 23 cdot 512 = 1036 = 518
Calculando a integral:
VAR(X) = 518 - (49)^2 = 518 - 1681 = 45162 - 32162 = 13162
Então:
Agora, calculando a variância:

Resposta

Os valores são , e .

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