Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar para quais valores de a função pode ser considerada uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Além disso, precisamos calcular o valor esperado e a variância dessa função. Para isso, vamos lembrar que, para ser uma f.d.p., ela precisa satisfazer duas condições principais:
  1. deve ser não negativa para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que faz com que seja uma f.d.p.
A função dada é:
á
Como é zero fora do intervalo , só precisamos integrar de 0 a 1 e igualar a 1:
Vamos calcular essa integral:
Então:

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos calcular o valor esperado . A fórmula para é:
Como é zero fora de , simplificamos para:
Calculando a integral:
Portanto:

Passo 4

Vamos calcular a variância . A fórmula para a variância é:
Primeiro, encontramos :
Calculando a integral:
Então:
Agora, calculando a variância:

Resposta

Os valores são , e .

Exercícios relacionados

Realize uma análise descritiva dos dados. Calcule média e desvio padrão para cada variável e para a variável DIF (diferença entre as concentrações dos poluentes).
Os dados a seguir foram obtidos em indivíduos contaminados pelo veneno de um certo tipo de inseto e submetidos a tratamento. A variável de interesse R é definida como o tempo (em horas) entre a administração do tratamento e a recuperação do indivíduo. Os valores de R são os seguintes: , e 52 .
b) Separe o conjunto de dados em três grupos denominados cura rápida, com valor de R menor ou igual a 12 , cura normal, se o valor de R for maior do que 12 e menor ou igual a 45 , e cura lenta, se o valor de R estiver acima de 45. Compare a variabilidade desses três grupos através do coeficiente de variação desses grupos.
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Durar entre 800 e 1.200 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória , cuja f. d. p. é:
Dada a f. d. p. de uma variável aleatória :
calcular .