Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de
podem ser consideradas f. d. p. Calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar para quais valores de
a função
pode ser considerada uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Além disso, precisamos calcular o valor esperado
e a variância
dessa função. Para isso, vamos lembrar que, para
ser uma f.d.p., ela precisa satisfazer duas condições principais:
-
deve ser não negativa para todo . - A integral de
em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
que faz com que
seja uma f.d.p.
A função dada é:
Como
é zero fora do intervalo
, só precisamos integrar de 0 a 1 e igualar a 1:
Vamos calcular essa integral:
Então:
Passo 3
Agora que sabemos que
, vamos calcular o valor esperado
. A fórmula para
é:
Como
é zero fora de
, simplificamos para:
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 4
Vamos calcular a variância
. A fórmula para a variância é:
Primeiro, encontramos
:
Calculando a integral:
Então:
Agora, calculando a variância:
Resposta
Os valores são
,
e
.