Dada a f. d. p. de uma variável aleatória X :
f(x)= 6 x(1-x) & se 0 <= x <= 1 0 & se x<0 ou x>1
calcular P(mu-sigma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória f(x) = 6x(1 - x) & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário :
á
O conteúdo aqui envolve estatística básica, especificamente distribuição de probabilidade contínua. Para resolver, precisaremos encontrar a média ( ) e o desvio padrão ( ) dessa distribuição e, em seguida, calcular a probabilidade de estar no intervalo a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média ( mu = integral-infty^infty x f(x) , dx ) da distribuição. A média de uma variável contínua é dada por:
mu = integral0^1 x cdot 6x(1 - x) , dx = integral0^1 6x^2(1 - x) , dx
Como fora de [0,1], podemos simplificar:
Vamos resolver essa integral.

Passo 3

Explicando a integral:
integral0^1 6x^2(1 - x) , dx = 6 integral0^1 x^2 - x^3 , dx = 6 ( x^33 - x^44 ) g|0^1
Calculando de 0 a 1:
6 ( 13 - 14 ) = 6 ( 412 - 312 ) = 6 ( 112 ) = 612 = 12
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o desvio padrão ( sigma^2 = integral-infty^infty (x - mu)^2 f(x) , dx ). Primeiro, precisamos encontrar a variância ( sigma^2 = integral0^1 x^2 f(x) , dx - mu^2 ):
integral0^1 x^2 cdot 6x(1 - x) , dx = integral0^1 6x^3(1 - x) , dx
Mas uma maneira mais fácil é usar:
Vamos calcular :

Passo 5

Resolvendo a integral:
integral0^1 6x^3(1 - x) , dx = 6 integral0^1 x^3 - x^4 , dx = 6 ( x^44 - x^55 ) g|0^1
Calculando de 0 a 1:
6 ( 14 - 15 ) = 6 ( 520 - 420 ) = 6 ( 120 ) = 620 = 310
Então, .

Passo 6

Agora, calculamos a variância:
sigma^2 = 310 - ( 12 )^2 = 310 - 14 = 620 - 520 = 120
Portanto, o desvio padrão é:
sigma = raiz120 = 12raiz5 = raiz510

Passo 7

Agora que temos mu - sigma = 12 - raiz510 = 510 - raiz510 = 5 - raiz510 e mu + sigma = 12 + raiz510 = 510 + raiz510 = 5 + raiz510 , vamos calcular o intervalo a :
Então, precisamos encontrar .

Passo 8

Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a função de densidade P( 5 - raiz510 < X < 5 + raiz510 ) = integral5 - raiz510^5 + raiz510 6x(1 - x) , dx de a :

Passo 9

Vamos resolver a integral:
integral 6x(1 - x) , dx = integral 6x - 6x^2 , dx = 3x^2 - 2x^3 + C
Então, avaliamos de P = [ 3x^2 - 2x^3 ]a^b = ( 3b^2 - 2b^3 ) - ( 3a^2 - 2a^3 ) a b = 5 + raiz510, a = 5 - raiz510 :
Vamos calcular esses valores substituindo e :
Após simplificações, encontramos que a probabilidade é aproximadamente 0,5.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,5.

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