Dada a f. d. p. de uma variável aleatória :
calcular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória :
á
O conteúdo aqui envolve estatística básica, especificamente distribuição de probabilidade contínua. Para resolver, precisaremos encontrar a média ( ) e o desvio padrão ( ) dessa distribuição e, em seguida, calcular a probabilidade de estar no intervalo a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média ( ) da distribuição. A média de uma variável contínua é dada por:
Como fora de [0,1], podemos simplificar:
Vamos resolver essa integral.

Passo 3

Explicando a integral:
Calculando de 0 a 1:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o desvio padrão ( ). Primeiro, precisamos encontrar a variância ( ):
Mas uma maneira mais fácil é usar:
Vamos calcular :

Passo 5

Resolvendo a integral:
Calculando de 0 a 1:
Então, .

Passo 6

Agora, calculamos a variância:
Portanto, o desvio padrão é:

Passo 7

Agora que temos e , vamos calcular o intervalo a :
Então, precisamos encontrar .

Passo 8

Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a função de densidade de a :

Passo 9

Vamos resolver a integral:
Então, avaliamos de a :
Vamos calcular esses valores substituindo e :
Após simplificações, encontramos que a probabilidade é aproximadamente 0,5.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,5.

Exercícios relacionados

Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Durar entre 800 e 1.200 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória , cuja f. d. p. é:
Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Se queimar antes de 1.000 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória , cuja f. d. p. é:
Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .