Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória :
O conteúdo aqui envolve estatística básica, especificamente distribuição de probabilidade contínua. Para resolver, precisaremos encontrar a média () e o desvio padrão () dessa distribuição e, em seguida, calcular a probabilidade de estar no intervalo a .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média () da distribuição. A média de uma variável contínua é dada por:
Como fora de [0,1], podemos simplificar:
Vamos resolver essa integral.
Passo 3
Explicando a integral:
Calculando de 0 a 1:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos encontrar o desvio padrão (). Primeiro, precisamos encontrar a variância ():
Mas uma maneira mais fácil é usar:
Vamos calcular :
Passo 5
Resolvendo a integral:
Calculando de 0 a 1:
Então, .
Passo 6
Agora, calculamos a variância:
Portanto, o desvio padrão é:
Passo 7
Agora que temos e , vamos calcular o intervalo a :
Então, precisamos encontrar .
Passo 8
Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a função de densidade de a :
Passo 9
Vamos resolver a integral:
Então, avaliamos de a :
Vamos calcular esses valores substituindo e :
Após simplificações, encontramos que a probabilidade é aproximadamente 0,5.