Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória :
O conteúdo aqui envolve estatística básica, especificamente distribuição de probabilidade contínua. Para resolver, precisaremos encontrar a média () e o desvio padrão () dessa distribuição e, em seguida, calcular a probabilidade de estar no intervalo a .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média () da distribuição. A média de uma variável contínua é dada por:
Agora que temos mu - sigma = 12 - raiz510 = 510 - raiz510 = 5 - raiz510 e mu + sigma = 12 + raiz510 = 510 + raiz510 = 5 + raiz510 , vamos calcular o intervalo a :
Então, precisamos encontrar .
Passo 8
Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a função de densidade P( 5 - raiz510 < X < 5 + raiz510 ) = integral5 - raiz510^5 + raiz510 6x(1 - x) , dx de a :
Passo 9
Vamos resolver a integral:
integral 6x(1 - x) , dx = integral 6x - 6x^2 , dx = 3x^2 - 2x^3 + C
Então, avaliamos de P = [ 3x^2 - 2x^3 ]a^b = ( 3b^2 - 2b^3 ) - ( 3a^2 - 2a^3 ) a b = 5 + raiz510, a = 5 - raiz510 :
Vamos calcular esses valores substituindo e :
Após simplificações, encontramos que a probabilidade é aproximadamente 0,5.