Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser consideradas f. d. p. Calcular E(X) e VAR(X).
f(x)= K e^-2 x & para x >= 0 0 & para x<0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa verificar para quais valores de a função é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p). Além disso, vamos calcular o valor esperado e a variância dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das distribuições de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser considerada uma f.d.p., ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral igual a 1: A integral de de a deve ser igual a 1.
No nosso caso, a função já é não-negativa, então só precisamos ajustar para que a segunda condição seja atendida.

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral-infty^+infty f(x) , dx = integral0^+infty K e^-2x , dx de integral0^+infty K e^-2x , dx = K integral0^+infty e^-2x , dx a integral0^+infty e^-2x , dx = [-12 e^-2x]0^+infty = 0 - (-12) = 12 :
K cdot 12 = 1 Rightarrow K = 2
A função é zero para , então restringimos a integral para . Integrando:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Agora que encontramos E(X) = integral-infty^+infty x f(x) , dx = integral0^+infty x cdot 2 e^-2x , dx , vamos calcular o valor esperado E(X) = 1lambda = 12 :
Essa integral é conhecida na distribuição exponencial, onde . O valor esperado para uma distribuição exponencial é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 :
E(X^2) = 2lambda^2 = 24 = 12
Sabemos que para a distribuição exponencial:
VAR(X) = 12 - (12)^2 = 12 - 14 = 14
Então:

Resposta

Para que seja uma função de densidade de probabilidade, o valor de deve ser . O valor esperado é e a variância é .

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