Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de
podem ser consideradas f. d. p. Calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa verificar para quais valores de
a função
é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p). Além disso, vamos calcular o valor esperado
e a variância
dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das distribuições de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser considerada uma f.d.p., ela precisa satisfazer duas condições:
- Não-negatividade:
para todo . - Integral igual a 1: A integral de
de a deve ser igual a 1.
No nosso caso, a função
já é não-negativa, então só precisamos ajustar
para que a segunda condição seja atendida.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
de
a
:
A função é zero para
, então restringimos a integral para
. Integrando:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Agora que encontramos
, vamos calcular o valor esperado
:
Essa integral é conhecida na distribuição exponencial, onde
. O valor esperado
para uma distribuição exponencial é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância
:
Sabemos que para a distribuição exponencial:
Então:
Resposta
Para que
seja uma função de densidade de probabilidade, o valor de
deve ser
. O valor esperado
é
e a variância
é
.