Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa verificar para quais valores de a função é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p). Além disso, vamos calcular o valor esperado e a variância dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das distribuições de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser considerada uma f.d.p., ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral igual a 1: A integral de de a deve ser igual a 1.
No nosso caso, a função já é não-negativa, então só precisamos ajustar para que a segunda condição seja atendida.

Passo 3

Vamos calcular a integral de de a :
A função é zero para , então restringimos a integral para . Integrando:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Agora que encontramos , vamos calcular o valor esperado :
Essa integral é conhecida na distribuição exponencial, onde . O valor esperado para uma distribuição exponencial é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância :
Sabemos que para a distribuição exponencial:
Então:

Resposta

Para que seja uma função de densidade de probabilidade, o valor de deve ser . O valor esperado é e a variância é .

Exercícios relacionados

Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
Se queimar antes de 1.000 horas.
A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória , cuja f. d. p. é:
Uma variável aleatória contínua tem f. d. p. dada por:
Determinar e .
Determinar a média e a variância de , cuja f. d. p. é dada por: