Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa verificar para quais valores de a função é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p). Além disso, vamos calcular o valor esperado e a variância dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das distribuições de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser considerada uma f.d.p., ela precisa satisfazer duas condições:
Não-negatividade: para todo .
Integral igual a 1: A integral de de a deve ser igual a 1.
No nosso caso, a função já é não-negativa, então só precisamos ajustar para que a segunda condição seja atendida.
Passo 3
Vamos calcular a integral de de a :
A função é zero para , então restringimos a integral para . Integrando:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Agora que encontramos , vamos calcular o valor esperado :
Essa integral é conhecida na distribuição exponencial, onde . O valor esperado para uma distribuição exponencial é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância :
Sabemos que para a distribuição exponencial:
Então:
Resposta
Para que seja uma função de densidade de probabilidade, o valor de deve ser . O valor esperado é e a variância é .