Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser consideradas f. d. p. Calcular E(X) e VAR(X).
f(x)= K x^2 & se 0 <= x <= 2 0 & se x<0 ou x>2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função definida de forma diferente dependendo do valor de . A primeira parte da pergunta quer saber para quais valores de essa função pode ser considerada uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). A segunda parte pede para calcular a esperança matemática e a variância dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções densidade de probabilidade, integração e propriedades de média e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Basicamente, uma função é uma f.d.p. se ela satisfaz duas condições:
  1. para todo .
  2. A integral de sobre todo o espaço amostral é igual a 1, ou seja, .
No nosso caso, para e caso contrário. Vamos verificar essas condições.

Passo 3

Primeira condição: . Como é sempre não negativo quando está entre 0 e 2, e 0 fora desse intervalo, a primeira condição já está satisfeita para qualquer valor de positivo.

Passo 4

Segunda condição: a integral de integral0^2 Kx^2 , dx = K integral0^2 x^2 , dx = K [ x^33 ]0^2 = K ( 83 - 0 ) = 8K3 de 0 a 2 deve ser igual a 1. Vamos calcular essa integral:
8K3 = 1 implies K = 38
Para que isso seja igual a 1:

Passo 5

Agora que sabemos que E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx = integral0^2 x cdot 38x^2 , dx = 38 integral0^2 x^3 , dx = 38 [ x^44 ]0^2 = 38 ( 164 - 0 ) = 38 cdot 4 = 32 , vamos calcular a esperança matemática . A esperança é dada por:

Passo 6

Para calcular a variância E(X^2) = integral-infty^infty x^2 f(x) , dx = integral0^2 x^2 cdot 38x^2 , dx = 38 integral0^2 x^4 , dx = 38 [ x^55 ]0^2 = 38 ( 325 - 0 ) = 38 cdot 325 = 9640 = 125 , precisamos primeiro encontrar VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 125 - ( 32 )^2 = 125 - 94 = 4820 - 4520 = 320 :
Agora, a variância é dada por:

Resposta

Os valores de que tornam uma função densidade de probabilidade são . A esperança matemática é e a variância é .

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