Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de
podem ser consideradas f. d. p. Calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função
definida de forma diferente dependendo do valor de
. A primeira parte da pergunta quer saber para quais valores de
essa função pode ser considerada uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). A segunda parte pede para calcular a esperança matemática
e a variância
dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções densidade de probabilidade, integração e propriedades de média e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Basicamente, uma função
é uma f.d.p. se ela satisfaz duas condições:
-
para todo . - A integral de
sobre todo o espaço amostral é igual a 1, ou seja, .
No nosso caso,
para
e
caso contrário. Vamos verificar essas condições.
Passo 3
Primeira condição:
. Como
é sempre não negativo quando
está entre 0 e 2, e 0 fora desse intervalo, a primeira condição já está satisfeita para qualquer valor de
positivo.
Passo 4
Segunda condição: a integral de
de 0 a 2 deve ser igual a 1. Vamos calcular essa integral:
Para que isso seja igual a 1:
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos calcular a esperança matemática
. A esperança é dada por:
Passo 6
Para calcular a variância
, precisamos primeiro encontrar
:
Agora, a variância é dada por:
Resposta
Os valores de
que tornam
uma função densidade de probabilidade são
. A esperança matemática
é
e a variância
é
.