Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de podem ser consideradas f. d. p. Calcular e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função definida de forma diferente dependendo do valor de . A primeira parte da pergunta quer saber para quais valores de essa função pode ser considerada uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). A segunda parte pede para calcular a esperança matemática e a variância dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções densidade de probabilidade, integração e propriedades de média e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Basicamente, uma função é uma f.d.p. se ela satisfaz duas condições:
para todo .
A integral de sobre todo o espaço amostral é igual a 1, ou seja, .
No nosso caso, para e caso contrário. Vamos verificar essas condições.
Passo 3
Primeira condição: . Como é sempre não negativo quando está entre 0 e 2, e 0 fora desse intervalo, a primeira condição já está satisfeita para qualquer valor de positivo.
Passo 4
Segunda condição: a integral de de 0 a 2 deve ser igual a 1. Vamos calcular essa integral:
Para que isso seja igual a 1:
Passo 5
Agora que sabemos que , vamos calcular a esperança matemática . A esperança é dada por:
Passo 6
Para calcular a variância , precisamos primeiro encontrar :
Agora, a variância é dada por:
Resposta
Os valores de que tornam uma função densidade de probabilidade são . A esperança matemática é e a variância é .