Calcular o tempo de esvaziamento de um reservatório retangular, de área superficial 8,0 times 10,0= 80,0 m^2 (seção constante ao longo de toda a profundidade), quando este estiver no seu NA máx =10,0á m de altura, quando o esgotamento se dá através de um orifício de fundo de diâmetro 150 mm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o tempo que leva para esvaziar um reservatório retangular. A matéria envolvida aqui é a Hidráulica, especificamente o estudo do escoamento de fluidos através de um orifício. Para resolver, vamos precisar entender como a velocidade do fluido e a área do orifício influenciam no tempo de esvaziamento. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Área superficial do reservatório: $ A = 8,0 , m \times 10,0 , m = 80,0 , m² $
  • Altura máxima da água no reservatório: $ h_0 = 10,0 , m $
  • Diâmetro do orifício de escoamento: $ D = 150 , mm = 0,15 , m $

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a velocidade com que a água sai pelo orifício pode ser calculada usando a Lei de Torricelli, que diz que a velocidade $ v $ é igual à raiz quadrada de $ 2gh $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s² $) e $ h $ é a altura da coluna de água.
v

Passo 4

Com a velocidade conhecida, podemos calcular a taxa de escoamento ($ Q $), que é o volume de água que sai por segundo pelo orifício. A fórmula para isso é:
Q í
Onde $ A_{orifício} $ é a área do orifício. Como o orifício é circular, a área é:
Q = Aorifício times v í²
Substituindo a velocidade:
Aorifício ²

Passo 5

Sabemos que a água está esvaziando o reservatório, então a taxa de variação do volume do reservatório ($ \frac{dV}{dt} $) é igual a menos a taxa de escoamento:
dVdt
Como a seção transversal do reservatório é constante, o volume $ V $ é igual à área $ A $ multiplicada pela altura $ h $:
dVdt = -Q
Derivando em relação ao tempo:
V
Então, podemos igualar as duas expressões:
A ²

Passo 6

Vamos separar as variáveis para integrar e encontrar o tempo necessário para esvaziar o reservatório. Reorganizando a equação:
dhraizh = -pi D²4A raiz2g , dt ²
Integrando ambos os lados, de $ h = h_0 $ até $ h = 0 $ e de $ t = 0 $ até $ t = T $:
h = h0 ²
A integral da esquerda fica:
h = 0
E a da direita:
t = 0 ²
Igualando as duas:
t = T ²

Passo 7

Vamos resolver para $ T $:
T ²
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{4A}{\pi D² \sqrt{2g}} $:
2raizh0 = pi D²4A raiz2g , T ²
Simplificando:
4Api D² raiz2g ²

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
  • $ A = 80,0 , m² $
  • $ h_0 = 10,0 , m $
  • $ D = 0,15 , m $
  • $ g = 9,81 , m/s² $
A = 80,0 , m² ²

Passo 9

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular $ \sqrt{10,0} \approx 3,162 $
  2. Calcular $ \sqrt{2 \times 9,81} = \sqrt{19,62} \approx 4,430 $
  3. Calcular $ (0,15)² = 0,0225 $
  4. Agora, substituindo:
raiz10,0 approx 3,162
Calculando o numerador:
raiz2 times 9,81 = raiz19,62 approx 4,430
(0,15)² = 0,0225
Calculando o denominador:
T = 8 times 80,0 times 3,162pi times 0,0225 times 4,430
8 times 80,0 = 640
Finalmente:
640 times 3,162 approx 2023,68

Resposta

O tempo necessário para esvaziar o reservatório é de aproximadamente 6461,4 segundos, o que equivale a cerca de 1 hora e 47 minutos.

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