Calcular o tempo de esvaziamento de um reservatório retangular, de área superficial 8,0
(seção constante ao longo de toda a profundidade), quando este estiver no seu
m de altura, quando o esgotamento se dá através de um orifício de fundo de diâmetro 150 mm
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o tempo que leva para esvaziar um reservatório retangular. A matéria envolvida aqui é a Hidráulica, especificamente o estudo do escoamento de fluidos através de um orifício. Para resolver, vamos precisar entender como a velocidade do fluido e a área do orifício influenciam no tempo de esvaziamento. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Área superficial do reservatório: $ A = 8,0 , m \times 10,0 , m = 80,0 , m² $
- Altura máxima da água no reservatório: $ h_0 = 10,0 , m $
- Diâmetro do orifício de escoamento: $ D = 150 , mm = 0,15 , m $
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a velocidade com que a água sai pelo orifício pode ser calculada usando a Lei de Torricelli, que diz que a velocidade $ v $ é igual à raiz quadrada de $ 2gh $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s² $) e $ h $ é a altura da coluna de água.
Passo 4
Com a velocidade conhecida, podemos calcular a taxa de escoamento ($ Q $), que é o volume de água que sai por segundo pelo orifício. A fórmula para isso é:
Onde $ A_{orifício} $ é a área do orifício. Como o orifício é circular, a área é:
Substituindo a velocidade:
Passo 5
Sabemos que a água está esvaziando o reservatório, então a taxa de variação do volume do reservatório ($ \frac{dV}{dt} $) é igual a menos a taxa de escoamento:
Como a seção transversal do reservatório é constante, o volume $ V $ é igual à área $ A $ multiplicada pela altura $ h $:
Derivando em relação ao tempo:
Então, podemos igualar as duas expressões:
Passo 6
Vamos separar as variáveis para integrar e encontrar o tempo necessário para esvaziar o reservatório. Reorganizando a equação:
Integrando ambos os lados, de $ h = h_0 $ até $ h = 0 $ e de $ t = 0 $ até $ t = T $:
A integral da esquerda fica:
E a da direita:
Igualando as duas:
Passo 7
Vamos resolver para $ T $:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{4A}{\pi D² \sqrt{2g}} $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
- $ A = 80,0 , m² $
- $ h_0 = 10,0 , m $
- $ D = 0,15 , m $
- $ g = 9,81 , m/s² $
Passo 9
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular $ \sqrt{10,0} \approx 3,162 $
- Calcular $ \sqrt{2 \times 9,81} = \sqrt{19,62} \approx 4,430 $
- Calcular $ (0,15)² = 0,0225 $
- Agora, substituindo:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Finalmente:
Resposta
O tempo necessário para esvaziar o reservatório é de aproximadamente 6461,4 segundos, o que equivale a cerca de 1 hora e 47 minutos.