Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
f(x, y) = e^(x / y) + arctan(x / y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde a gente vê como a função muda em relação a cada uma das variáveis, uma de cada vez. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e a função arco-tangente em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Lembre-se que, ao derivar parcialmente, tratamos a outra variável como uma constante.
A função é .
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de em relação a :
    A derivada da função exponencial em relação a é . Aqui, , então aplicamos a regra da cadeia:
  2. Derivada de em relação a :
    A derivada de em relação a é . Novamente, aplicamos a regra da cadeia onde :
Agora, juntando as duas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, derivamos cada termo separadamente:
  1. Derivada de em relação a :
    Usamos a regra da cadeia novamente. Aqui, , então:
  2. Derivada de em relação a :
    Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Juntando as duas derivadas:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

Exercícios relacionados