Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde a gente vê como a função muda em relação a cada uma das variáveis, uma de cada vez. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e a função arco-tangente em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Lembre-se que, ao derivar parcialmente, tratamos a outra variável como uma constante.
A função é
.
Vamos derivar cada termo separadamente:
-
Derivada de
em relação a : A derivada da função exponencialem relação a é . Aqui, , então aplicamos a regra da cadeia: -
Derivada de
em relação a : A derivada deem relação a é . Novamente, aplicamos a regra da cadeia onde :
Agora, juntando as duas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, derivamos cada termo separadamente:
-
Derivada de
em relação a : Usamos a regra da cadeia novamente. Aqui,, então: -
Derivada de
em relação a : Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Juntando as duas derivadas:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e