Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria:
Isso significa que queremos saber se essa integral “converge” (tem um valor finito) ou “diverge” (não tem um valor finito, ou seja, vai para infinito). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e funções exponenciais.
Passo 2
Vamos lembrar que uma integral imprópria com limite infinito como este é avaliada tomando o limite quando a variável de integração (neste caso,
) tende ao infinito. Então, reescrevemos a integral como:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função
. Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante e
é a constante de integração. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites da integral definida:
Simplificando
para
:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite quando
tende ao infinito. Observamos que
tende a zero quando
tende ao infinito, porque a exponencial de um número muito negativo se aproxima de zero:
Portanto, o limite fica:
Resposta
A integral imprópria
é convergente e seu valor é
.