Verificar se as séries são convergentes ou divergentes: sumn=1^infty n^2n^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Isso envolve o estudo de séries infinitas, especificamente analisando o comportamento dos termos conforme cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o termo geral é . À medida que fica muito grande, o no denominador se torna menos relevante, então podemos simplificar aproximadamente para .

Passo 3

Sabemos que a série é a famosa série harmônica, que é conhecida por divergir. Isso nos dá uma pista de como a série original se comporta.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Comparação. Comparamos com . Como para todo , , e sabemos que a série também diverge (é apenas metade da série harmônica), podemos concluir pelo teste da comparação que nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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