Verificar se as séries são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Isso envolve o estudo de séries infinitas, especificamente analisando o comportamento dos termos conforme
cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o termo geral é
. À medida que
fica muito grande, o
no denominador se torna menos relevante, então podemos simplificar aproximadamente para
.
Passo 3
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que é conhecida por divergir. Isso nos dá uma pista de como a série original se comporta.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Comparação. Comparamos
com
. Como para todo
,
, e sabemos que a série
também diverge (é apenas metade da série harmônica), podemos concluir pelo teste da comparação que nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.