Seja f(x)=ll5 x+3, & se x<0, a+x^2, & se x >= 0 existe a in R tal que lim x 0 f(x) exista? Em caso afirmativo determine lim x 0 f(x).

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função definida por partes:
f(x) = 5x + 3, & se x < 0, a + x^2, & se x >= 0
Queremos descobrir se existe um valor real para que faça com que o limite de quando se aproxima de 0 exista. Se existir, também vamos encontrar esse limite. Para resolver isso, vamos analisar os limites pela esquerda e pela direita de 0 e igualá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (5x + 3) = 5 times 0 + 3 = 3 quando se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, . Nesse caso, usamos a primeira parte da função: .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (a + x^2) = a + 0^2 = a quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, . Aqui, usamos a segunda parte da função: .
Então:

Passo 4

Para que o limite de limx to 0^- f(x) = limx to 0^+ f(x) exista em 3 = a , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Ou seja:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Existe limx to 0 f(x) = 3 que faz o limite de quando se aproxima de 0 existir. O limite é:

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