Calcular a transformada de Fourier bilateral do sinal continuo:
x(t)=8 e^-5 t u(t-2)+7 e^3 t u(t-3)+de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier bilateral de um sinal contínuo que é uma soma de três partes:
x(t) = 8 e^-5 t u(t-2) + 7 e^3 t u(t-3) + de
Isso envolve conhecimentos de transformadas de Fourier, propriedades de sinais como a função degrau e a delta de Dirac . Vamos precisar usar as fórmulas de transformada para exponenciais, funções escalonadas e sinais impulsivos.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o sinal x(t) = x1(t) + x2(t) + x3(t) em suas três componentes:
x1(t) = 8 e^-5 t u(t-2)
onde:
x2(t) = 7 e^3 t u(t-3)
x3(t) = de
X(jomega) = X1(jomega) + X2(jomega) + X3(jomega)
Assim, a transformada de Fourier de será a soma das transformadas de Fourier de cada componente:

Passo 3

Vamos calcular Fe^a t u(t - t0) = e^-jomega t0a + jomega . A transformada de Fourier de X1(jomega) = 8 cdot e^-jomega 2-5 + jomega = 8 e^-j2omega-5 + jomega é:
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos para Fe^a t u(t - t0) = e^-jomega t0a + jomega . Usando a mesma fórmula, mas agora X2(jomega) = 7 cdot e^-jomega 33 + jomega = 7 e^-j3omega3 + jomega e :
Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular Fde. A transformada de Fourier da delta de Dirac cos(4 t) = e^j4 t + e^-j4 t2 é:
x3(t) = de
E sabemos que:
X3(jomega) = e^-j5omega e^j4 t + e^-j5omega e^-j4 t2 = e^-j(5 - 4)omega + e^-j(5 + 4)omega2 = e^-jomega + e^-j9omega2
Então, multiplicando pela delta:
Aplicando a transformada:

Resposta

Juntando todas as partes, a transformada de Fourier bilateral de X(jomega) = 8 e^-j2omega-5 + jomega + 7 e^-j3omega3 + jomega + e^-jomega + e^-j9omega2 é:

Exercícios relacionados