Calcular a transformada de Fourier bilateral do sinal continuo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier bilateral de um sinal contínuo que é uma soma de três partes:
Isso envolve conhecimentos de transformadas de Fourier, propriedades de sinais como a função degrau
e a delta de Dirac
. Vamos precisar usar as fórmulas de transformada para exponenciais, funções escalonadas e sinais impulsivos.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o sinal
em suas três componentes:
onde:
Assim, a transformada de Fourier de
será a soma das transformadas de Fourier de cada componente:
Passo 3
Vamos calcular
. A transformada de Fourier de
é:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos para
. Usando a mesma fórmula, mas agora
e
:
Então:
Passo 5
Por fim, vamos calcular
. A transformada de Fourier da delta de Dirac
é:
E sabemos que:
Então, multiplicando pela delta:
Aplicando a transformada:
Resposta
Juntando todas as partes, a transformada de Fourier bilateral de
é: