Calcular u times v para u=2 imath+4 jmath+3 k e v=imath+3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o produto vetorial entre os vetores u e v. Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, mais precisamente com o produto cruzado (ou produto vetorial). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto cruzado entre dois vetores em três dimensões usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores u = u1 imath + u2 jmath + u3 k e v = v1 imath + v2 jmath + v3 k é dado pela fórmula:
u times v = imath & jmath & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Isso significa que vamos montar uma matriz com os componentes dos vetores e calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Vamos identificar os componentes dos vetores dados:
Para u = 2 imath + 4 jmath + 3 k:
  • u1 = 2
  • u2 = 4
  • u3 = 3
Para v = imath + 3 k:
  • v1 = 1
  • v2 = 0 (porque não há componente jmath)
  • v3 = 3

Passo 4

Agora, montamos a matriz para calcular o determinante:
u times v = imath & jmath & k 2 & 4 & 3 1 & 0 & 3

Passo 5

Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão por cofatores:
u times v = imath(4 cdot 3 - 3 cdot 0) - jmath(2 cdot 3 - 3 cdot 1) + k(2 cdot 0 - 4 cdot 1)

Passo 6

Calculando cada termo:
  • Componente imath:
4 cdot 3 - 3 cdot 0 = 12 - 0 = 12
  • Componente jmath:
2 cdot 3 - 3 cdot 1 = 6 - 3 = 3
  • Componente k:
2 cdot 0 - 4 cdot 1 = 0 - 4 = -4

Passo 7

Substituindo os valores calculados:
u times v = 12 imath - 3 jmath -4 k

Resposta

O produto vetorial u times v é igual a 12 imath - 3 jmath -4 k.

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