Qual deve ser
valor de
para que os vetores
sejam coplanares?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de
de forma que os vetores
,
e
sejam coplanares. Isso significa que esses três vetores devem estar no mesmo plano. Para verificar isso, vamos usar o produto misto dos vetores, que ajuda a determinar se três vetores estão ou não no mesmo plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que três vetores são coplanares se o produto misto deles for igual a zero. O produto misto é calculado como o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. Em fórmulas, isso fica:
Então, nossa missão é calcular esse produto misto e resolver para
.
Passo 3
Vamos começar calculando o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos vetores
e
, temos:
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é:
Aplicando isso a
e
:
Simplificando:
Passo 5
Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
deve ser 3,4 para que os vetores sejam coplanares.