Qual deve ser o valor de m para que os vetores u=(6, m, 1), v=(4,-1,3) e w=(2,3,-1) sejam coplanares?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de de forma que os vetores , e sejam coplanares. Isso significa que esses três vetores devem estar no mesmo plano. Para verificar isso, vamos usar o produto misto dos vetores, que ajuda a determinar se três vetores estão ou não no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que três vetores são coplanares se o produto misto deles for igual a zero. O produto misto é calculado como o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. Em fórmulas, isso fica:
u cdot (v times w) = 0
Então, nossa missão é calcular esse produto misto e resolver para .

Passo 3

Vamos começar calculando o produto vetorial a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) . O produto vetorial de dois vetores v times w = ( (-1)(-1) - 3(3), 3(2) - 4(-1), 4(3) - (-1)(2) ) e v times w = (1 - 9, 6 + 4, 12 + 2) = (-8, 10, 14) é dado por:
Aplicando isso aos vetores e , temos:
Calculando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar c cdot d = c1d1 + c2d2 + c3d3 . O produto escalar de dois vetores u cdot (v times w) = 6(-8) + m(10) + 1(14) = -48 + 10m + 14 e -48 + 14 = -34 Rightarrow -34 + 10m é:
Aplicando isso a e :
Simplificando:

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
-34 + 10m = 0
Resolvendo para 10m = 34 Rightarrow m = 3410 = 3,4 :

Resposta

O valor de deve ser 3,4 para que os vetores sejam coplanares.

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