1. Considere a transformação T(x, y, z)=(x+3 y+z, x-y+z, x+y-z).
    a) Dê as matrizes da transformação e da transformação inversa

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as matrizes de uma transformação linear e sua inversa. A transformação dada é . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes de transformações lineares e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz da transformação e1 = 1 0 0, e2 = 0 1 0, e3 = 0 0 1 . Em álgebra linear, toda transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob a transformação.
A base canônica no é formada pelos vetores:
Vamos aplicar a cada um desses vetores:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz da transformação A = 1 & 3 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 usando os vetores resultados acima como colunas:

Passo 4

Para encontrar a matriz da transformação inversa det(A) = 1 cdot (-1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - 3 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) , precisamos calcular a inversa da matriz det(A) = 1 cdot (1 - 1) - 3 cdot (-1 - 1) + 1 cdot (1 + 1) . A matriz inversa existe se o determinante de det(A) = 1 cdot 0 - 3 cdot (-2) + 1 cdot 2 = 0 + 6 + 2 = 8 for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) :
A^-1 = 18 0 & 2 & 2 2 & 2 & -4 2 & -4 & 4 = 0 & 14 & 14 14 & 14 & -12 14 & -12 & 12
Como , a matriz inversa existe. Vamos calcular :
Onde é a adjunta de . Calculando a adjunta e multiplicando por , obtemos:

Resposta

A matriz da transformação A = 1 & 3 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 é:
A^-1 = 0 & 14 & 14 14 & 14 & -12 14 & -12 & 12
E a matriz da transformação inversa é:

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