Considere a transformação .
a) Dê as matrizes da transformação e da transformação inversa
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as matrizes de uma transformação linear e sua inversa. A transformação dada é . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes de transformações lineares e matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz da transformação . Em álgebra linear, toda transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob a transformação.
A base canônica no é formada pelos vetores:
Vamos aplicar a cada um desses vetores:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz da transformação A = 1 & 3 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 usando os vetores resultados acima como colunas:
Passo 4
Para encontrar a matriz da transformação inversa det(A) = 1 cdot (-1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - 3 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) , precisamos calcular a inversa da matriz det(A) = 1 cdot (1 - 1) - 3 cdot (-1 - 1) + 1 cdot (1 + 1) . A matriz inversa existe se o determinante de det(A) = 1 cdot 0 - 3 cdot (-2) + 1 cdot 2 = 0 + 6 + 2 = 8 for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) :