Calcular o valor de a para que a função dada seja contínua em ( 0,0 ): f(x, y)=(x^2+y^2) sen(1x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) a, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor de f(x, y) = (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2), & se (x, y) neq (0,0) a, & se (x, y) = (0,0) de forma que a função seja contínua no ponto . A função é dada por:
Para garantir a continuidade em , precisamos que o limite de quando se aproxima de seja igual a . Vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e coordenadas polares para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar x = r cos theta e y = r sin theta em coordenadas polares. Isso significa que vamos substituir f(r, theta) = r^2 sen(1r^2) e por:
onde é a distância ao ponto e é o ângulo. Substituindo na função:
Agora, queremos calcular o limite de quando tende a 0.

Passo 3

Vamos analisar . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Multiplicando todos os lados por -1 <= sen(1r^2) <= 1 (que é sempre positivo):
Isso fica:
-r^2 <= r^2 sen(1r^2) <= r^2

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites de limr to 0 (-r^2) = 0 e limr to 0 r^2 = 0 e limr to 0 f(r, theta) = 0 quando tende a 0:
Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), o limite de também é 0:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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