Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
integral d xx^2 raizx^2-9

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma integral para resolver que envolve funções trigonométricas. O enunciado é:
integral dxx^2 raizx^2-9
Vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que têm expressões quadráticas dentro de raízes. Para isso, precisamos lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na substituição trigonométrica. Aqui, temos raizx^2 - 9. Isso se parece com a forma raizx^2 - a^2, onde a = 3.
Nesse caso, a substituição que usamos é:
x = a sec theta
Então, substituindo a = 3:
x = 3 sec theta

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de x em relação a theta para substituir dx na integral:
dx = 3 sec theta tan theta , dtheta
Também, precisamos substituir raizx^2 - 9 usando a identidade trigonométrica. Sabemos que:
raizx^2 - a^2 = a tan theta
Substituindo a = 3:
raizx^2 - 9 = 3 tan theta

Passo 4

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral dxx^2 raizx^2-9 = integral 3 sec theta tan theta , dtheta(3 sec theta)^2 cdot 3 tan theta
Simplificando os termos:
= integral 3 sec theta tan theta9 sec^2 theta cdot 3 tan theta , dtheta
= integral 3 sec theta tan theta27 sec^2 theta tan theta , dtheta
= integral 19 sec theta , dtheta
= 19 integral cos theta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar cos theta:
19 integral cos theta , dtheta = 19 sin theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que:
x = 3 sec theta Rightarrow sec theta = x3 Rightarrow cos theta = 3x
E, usando a identidade sin theta = raiz1 - cos^2 theta:
sin theta = raiz1 - (3x)^2 = raizx^2 - 9x

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral dxx^2 raizx^2-9 = raizx^2 - 99x + C

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