Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral para resolver que envolve funções trigonométricas. O enunciado é:
Vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que têm expressões quadráticas dentro de raízes. Para isso, precisamos lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na substituição trigonométrica. Aqui, temos
. Isso se parece com a forma
, onde
.
Nesse caso, a substituição que usamos é:
Então, substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral:
Também, precisamos substituir
usando a identidade trigonométrica. Sabemos que:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que:
E, usando a identidade
:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é: