Determine os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções trigonométricas e propriedades de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções compostas e como as funções contínuas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite de uma função composta como
, onde
, a gente pode separar o problema em duas partes: encontrar o limite de
quando
se aproxima de
e depois aplicar o cosseno nesse limite.
Passo 3
Então, vamos calcular o limite de
quando
. Isso significa substituir
por
na expressão:
Passo 4
Calculando passo a passo:
-
-
-
- Agora, substituindo na expressão:
Passo 5
Agora que encontramos que
, podemos aplicar o limite na função cosseno. Lembrando que a função cosseno é contínua, o que significa que o limite do cosseno de
é simplesmente o cosseno do limite de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
radianos correspondem a 45 graus, e o cosseno de 45 graus é:
Resposta
Portanto, o limite é
.