Determine os limites: lim x 12 cos (pi x^2-2 x+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite de quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções trigonométricas e propriedades de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções compostas e como as funções contínuas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite de uma função composta como , onde , a gente pode separar o problema em duas partes: encontrar o limite de quando se aproxima de e depois aplicar o cosseno nesse limite.

Passo 3

Então, vamos calcular o limite de u = pi (12)^2 - 2 (12) + 1 quando . Isso significa substituir por na expressão:

Passo 4

Calculando passo a passo:
  1. u = pi4 - 1 + 1 = pi4
  2. Agora, substituindo na expressão:

Passo 5

Agora que encontramos que limx 12 cos(pi x^2 - 2x + 1) = cos(pi4) , podemos aplicar o limite na função cosseno. Lembrando que a função cosseno é contínua, o que significa que o limite do cosseno de é simplesmente o cosseno do limite de :

Passo 6

Agora, vamos calcular cos(pi4) = raiz22 . Sabemos que radianos correspondem a 45 graus, e o cosseno de 45 graus é:

Resposta

Portanto, o limite é .

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