Determine os limites: lim x pi2(x-pi2) tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A pergunta pede para descobrir o valor de lim x pi2(x-pi2) tg(x). Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando x se aproxima de pi2.
  • O termo (x - pi2) tende a 0, porque x está se aproximando de pi2.
  • A tangente de x, tg(x), tende ao infinito positivo ou negativo dependendo de como x se aproxima de pi2. Isso porque tg(pi2) não está definida e cresce sem limites à medida que x se aproxima desse valor.
Então, temos uma forma do tipo 0 times infty, que é indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma maneira que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites indeterminados.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão original como uma fração:
(x - pi2) tg(x) = x - pi2cot(x)
Aqui, usamos a identidade tg(x) = 1cot(x). Agora, temos a forma 00 quando x se aproxima de pi2, que é uma forma indeterminada onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, que diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de f(x) = x - pi2 é f'(x) = 1.
  • Derivada de g(x) = cot(x) é g'(x) = -csc^2(x).
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
lim x pi2x - pi2cot(x) = lim x pi2f'(x)g'(x) = lim x pi21- csc^2(x)

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
lim x pi21- csc^2(x) = -lim x pi2sin^2(x)
Isso porque csc(x) = 1sin(x), então csc^2(x) = 1sin^2(x).

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de sin^2(x) quando x se aproxima de pi2:
lim x pi2sin(x) = 1
Portanto,
lim x pi2sin^2(x) = 1^2 = 1

Resposta

O limite é -1.

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