Determine os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A pergunta pede para descobrir o valor de
. Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando
se aproxima de
.
- O termo
tende a 0, porque está se aproximando de . - A tangente de
, , tende ao infinito positivo ou negativo dependendo de como se aproxima de . Isso porque não está definida e cresce sem limites à medida que se aproxima desse valor.
Então, temos uma forma do tipo
, que é indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma maneira que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites indeterminados.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão original como uma fração:
Aqui, usamos a identidade
. Agora, temos a forma
quando
se aproxima de
, que é uma forma indeterminada onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, que diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Isso porque
, então
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Portanto,
Resposta
O limite é
.