Calcular o valor de k de modo que a reta determinada pelos pontos A=(1,-1,0) e B=(k, 1,2) seja paralela ao plano
pi:l x=1+3 lambda y=1+2 lambda+mu z=3+3 lambda (lambda, mu in R)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de de forma que a reta que passa pelos pontos e seja paralela ao plano dado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores, retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta AB = B - A = (k - 1, 1 - (-1), 2 - 0) = (k - 1, 2, 2) . Esse vetor nos mostra a direção em que a reta está apontando. Para encontrar o vetor , subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano pi:l x = 1 + 3lambda y = 1 + 2lambda + mu z = 3 + 3lambda . A equação paramétrica do plano d1 = (partial xpartial lambda, partial ypartial lambda, partial zpartial lambda) = (3, 2, 3) é dada por:
d2 = (partial xpartial mu, partial ypartial mu, partial zpartial mu) = (0, 1, 0)
Os vetores diretores do plano são derivados das variáveis n = d1 times d2 = i & j & k 3 & 2 & 3 0 & 1 & 0 = (-3, 0, 3) e :
O vetor normal ao plano é o produto vetorial desses dois vetores diretores:

Passo 4

Para que a reta AB cdot n = 0 seja paralela ao plano (k - 1)(-3) + (2)(0) + (2)(3) = -3(k - 1) + 0 + 6 = -3k + 3 + 6 = -3k + 9 , o vetor diretor -3k + 9 = 0 deve ser ortogonal ao vetor normal . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero:
Vamos calcular esse produto escalar:
Igualando a zero:

Passo 5

Agora, é só resolver a equação para -3k + 9 = 0 -3k = -9 k = 3 :

Resposta

O valor de que torna a reta paralela ao plano é .

Exercícios relacionados

Obter uma equação geral do plano que:
é paralelo ao plano O x z e que intercepta o eixo O y em -7 .
cos ^4 x+sen^4 x+2 cdot(sen x cdot cos x)^2=1
Obter uma equação geral do plano que:
passa pelo ponto A=(-1,2,-4) e é perpendicular aos planos pi1: x+z=2 e pi2: y-z=0.
Sejam a reta r e o plano pi dados por:
r:l y=2 x-3 z=-x+2 e pi: 2 x+4 y-z-4=0
Determine:
(a) O ponto de interseção da reta r com o plano pi.
(b) O ponto de interseção da reta r com o plano O x z.
© Uma equação da reta de interseção do plano pi com o plano O x y.