Calcular o valor de de modo que a reta determinada pelos pontos e seja paralela ao plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de de forma que a reta que passa pelos pontos e seja paralela ao plano dado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores, retas e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta AB = B - A = (k - 1, 1 - (-1), 2 - 0) = (k - 1, 2, 2) . Esse vetor nos mostra a direção em que a reta está apontando. Para encontrar o vetor , subtraímos as coordenadas de das de :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano pi:l x = 1 + 3lambda y = 1 + 2lambda + mu z = 3 + 3lambda . A equação paramétrica do plano d1 = (partial xpartial lambda, partial ypartial lambda, partial zpartial lambda) = (3, 2, 3) é dada por:
Os vetores diretores do plano são derivados das variáveis n = d1 times d2 = i & j & k 3 & 2 & 3 0 & 1 & 0 = (-3, 0, 3) e :
O vetor normal ao plano é o produto vetorial desses dois vetores diretores:
Passo 4
Para que a reta AB cdot n = 0 seja paralela ao plano (k - 1)(-3) + (2)(0) + (2)(3) = -3(k - 1) + 0 + 6 = -3k + 3 + 6 = -3k + 9 , o vetor diretor -3k + 9 = 0 deve ser ortogonal ao vetor normal . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero:
Vamos calcular esse produto escalar:
Igualando a zero:
Passo 5
Agora, é só resolver a equação para -3k + 9 = 0 -3k = -9 k = 3 :