Sejam a reta r e o plano pi dados por:
r:l y=2 x-3 z=-x+2 e pi: 2 x+4 y-z-4=0
Determine:
(a) O ponto de interseção da reta r com o plano pi.
(b) O ponto de interseção da reta r com o plano O x z.
© Uma equação da reta de interseção do plano pi com o plano O x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta r: y = 2x - 3 z = -x + 2 e pi: 2x + 4y - z - 4 = 0 e um plano definidos pelas equações:
O que a gente precisa fazer é encontrar pontos de interseção entre essa reta e esses planos. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que estuda como linhas e planos se intersectam no espaço tridimensional.

Passo 2

Item (a): Encontrar o ponto de interseção da reta com o plano .
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção entre uma reta e um plano. Basicamente, a interseção é o ponto que está na reta e também no plano ao mesmo tempo. Para encontrar esse ponto, substituímos as equações da reta na equação do plano e resolvemos para a variável que sobra, que nesse caso é .

Passo 3

Vamos substituir as expressões de 2x + 4y - z - 4 = 0 e 2x + 4(2x - 3) - (-x + 2) - 4 = 0 da reta na equação do plano :
Substituindo e :

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
2x + 8x - 12 + x - 2 - 4 = 0
Somando os termos semelhantes:
(2x + 8x + x) + (-12 - 2 - 4) = 0
11x - 18 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos para 11x = 18 implies x = 1811 :

Passo 6

Com o valor de y = 2x - 3 = 2(1811) - 3 = 3611 - 3311 = 311 , vamos encontrar z = -x + 2 = -1811 + 2 = -1811 + 2211 = 411 e usando as equações da reta:

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

Exercícios relacionados

Obter uma equação geral do plano que:
passa pelo ponto A=(-1,2,-4) e é perpendicular aos planos pi1: x+z=2 e pi2: y-z=0.
Calcular o valor de k de modo que a reta determinada pelos pontos A=(1,-1,0) e B=(k, 1,2) seja paralela ao plano
pi:l x=1+3 lambda y=1+2 lambda+mu z=3+3 lambda (lambda, mu in R)
Obter uma equação geral do plano que:
é paralelo ao eixo O z e que intercepta o eixo O x em -3 e o eixo O y em 4.
Encontre uma equação geral do plano determinado pelas seguintes retas:
r:l 3 x-y-z=0 8 x-2 y-3 z+1=0 e s:l x-3 y+z+3=0 3 x-y-z+5=0