Obter uma equação geral do plano que:
passa pelo ponto A=(-1,2,-4) e é perpendicular aos planos pi1: x+z=2 e pi2: y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e . Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais e produto vetorial. Vamos necessidade de identificar os vetores normais dos planos dados, encontrar um novo vetor normal que seja perpendicular a ambos e, por fim, montar a equação do plano usando o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos ax + by + cz = d e . A equação geral de um plano é dada por:
Onde é o vetor normal ao plano.
  • Para , o vetor normal é
  • Para , o vetor normal é

Passo 3

Agora, como queremos um plano que seja perpendicular a ambos n = n1 times n2 e n = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 = i(0 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 1 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) , precisamos encontrar um vetor normal = i(-1) - j(-1) + k(1) que seja perpendicular a = (-1, 1, 1) e . Para isso, usamos o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal do nosso plano procurado é .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto -1(x - (-1)) + 1(y - 2) + 1(z - (-4)) = 0 pelo qual o plano passa, podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
-1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z + 4) = 0
Onde - x - 1 + y - 2 + z + 4 = 0 são as coordenadas do ponto - x + y + z + 1 = 0 e são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação geral do plano é:
-,x + y + z + 1 = 0

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Calcular o valor de k de modo que a reta determinada pelos pontos A=(1,-1,0) e B=(k, 1,2) seja paralela ao plano
pi:l x=1+3 lambda y=1+2 lambda+mu z=3+3 lambda (lambda, mu in R)
Obter uma equação geral do plano que:
é paralelo ao plano O x z e que intercepta o eixo O y em -7 .
Sejam a reta r e o plano pi dados por:
r:l y=2 x-3 z=-x+2 e pi: 2 x+4 y-z-4=0
Determine:
(a) O ponto de interseção da reta r com o plano pi.
(b) O ponto de interseção da reta r com o plano O x z.
© Uma equação da reta de interseção do plano pi com o plano O x y.
Obter uma equação geral do plano que:
é paralelo ao eixo O z e que intercepta o eixo O x em -3 e o eixo O y em 4.