Obter uma equação geral do plano que:
passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e . Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais e produto vetorial. Vamos necessidade de identificar os vetores normais dos planos dados, encontrar um novo vetor normal que seja perpendicular a ambos e, por fim, montar a equação do plano usando o ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos e . A equação geral de um plano é dada por:
Onde é o vetor normal ao plano.
Para , o vetor normal é
Para , o vetor normal é
Passo 3
Agora, como queremos um plano que seja perpendicular a ambos e , precisamos encontrar um vetor normal que seja perpendicular a e . Para isso, usamos o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal do nosso plano procurado é .
Passo 4
Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto -1(x - (-1)) + 1(y - 2) + 1(z - (-4)) = 0 pelo qual o plano passa, podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
-1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z + 4) = 0
Onde - x - 1 + y - 2 + z + 4 = 0 são as coordenadas do ponto - x + y + z + 1 = 0 e são as componentes do vetor normal.