Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz que foi dada:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Você vai precisar lembrar que:
- Autovalores são os scalars
que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. - Autovetores são os vetores não nulos
que satisfazem para cada autovalor .
Vamos por partes para não complicar!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Para isso, a gente precisa calcular o determinante da matriz
A - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda e igualar a zero.
A matriz identidade
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] + 1[2(2 - lambda) - 2 cdot 1] + 0 para uma matriz 3x3 é:
Então,
fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 3
Vamos calcular os menores:
Primeiro, o menor
(3 - lambda)(2 - lambda) = 6 - 3lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 6 :
Subtraindo 2:
Agora, o segundo menor
4 - 2lambda - 2 = 2 - 2lambda :
Subtraindo 2:
Agora, substituindo de volta na fórmula do determinante:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Primeiro, multiplicar
(1)(lambda^2 - 5lambda + 4) - lambda(lambda^2 - 5lambda + 4) = lambda^2 - 5lambda + 4 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda com
-lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 :
Juntando os termos:
Agora, adicionar o
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0 :
Então, a equação característica é:
Podemos multiplicar por -1 para facilitar:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes inteiras usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 6:
Vamos testar
(lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0 :
Funcionou! Então,
é uma raiz. Agora, vamos fatorar essa raiz usando divisão sintética ou polinomial. Vamos dividir
por
:
Resultado da divisão:
Agora, resolvemos
:
Fatorando:
Portanto, as raízes são
.
Passo 6
Agora que temos os valores próprios
A - I = 0 & -1 & 0 2 & 2 & 2 1 & 1 & 1 , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes para cada
0v1 - v2 + 0v3 = 0 2v1 + 2v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 .
Para cada
v = -t 0 t = t -1 0 1 , resolvemos
v1 = -1 0 1 .
Vamos fazer isso para cada valor de
A - 2I = -1 & -1 & 0 2 & 1 & 2 1 & 1 & 0 :
Para
- v1 - v2 = 0 2v1 + v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 = 0 :
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
v2 = -2 2 1
A - 3I = -2 & -1 & 0 2 & 0 & 2 1 & 1 & -1 .
Da terceira equação:
-2v1 - v2 = 0 2v1 + 0v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 - v3 = 0
v = t -2t -t = t 1 -2 -1 .
Então, podemos escolher
v3 = 1 -2 -1 , onde
é um parâmetro.
Portanto, os vetores próprios são:
Podemos escolher
para simplificar:
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
.
Da terceira equação:
, que confirma a primeira equação.
Substituindo
na segunda equação:
Então,
.
Escolha
, então
e
.
Portanto, os vetores próprios são:
Escolhendo
:
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
.
Da segunda equação:
.
Da terceira equação:
, que é sempre verdadeira.
Então, podemos escolher
, então
e
.
Portanto, os vetores próprios são:
Escolhendo
:
Resposta
Os valores próprios são
v1 = -1 0 1 e os respectivos vetores próprios são:
-
Para
:v2 = -2 2 1 v3 = 1 -2 -1 -
Para
: -
Para
: