Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
c) A=[ccc1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz que foi dada:
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Você vai precisar lembrar que:
  • Autovalores são os scalars que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
  • Autovetores são os vetores não nulos que satisfazem para cada autovalor .
Vamos por partes para não complicar!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Para isso, a gente precisa calcular o determinante da matriz A - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda e igualar a zero.
A matriz identidade det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] + 1[2(2 - lambda) - 2 cdot 1] + 0 para uma matriz 3x3 é:
Então, fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular os menores:
Primeiro, o menor (3 - lambda)(2 - lambda) = 6 - 3lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 6 :
lambda^2 - 5lambda + 6 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Subtraindo 2:
2(2 - lambda) = 4 - 2lambda
Agora, o segundo menor 4 - 2lambda - 2 = 2 - 2lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 1(2 - 2lambda)
Subtraindo 2:
Agora, substituindo de volta na fórmula do determinante:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Primeiro, multiplicar (1)(lambda^2 - 5lambda + 4) - lambda(lambda^2 - 5lambda + 4) = lambda^2 - 5lambda + 4 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda com -lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 :
-lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 + 2 - 2lambda = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
Juntando os termos:
-lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0
Agora, adicionar o lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0 :
Então, a equação característica é:
Podemos multiplicar por -1 para facilitar:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0
Vamos tentar encontrar raízes inteiras usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 6:
1 - 6 + 11 - 6 = 0
Vamos testar (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0 :
(lambda - 2)(lambda - 3) = 0
Funcionou! Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar essa raiz usando divisão sintética ou polinomial. Vamos dividir por :
Resultado da divisão:
Agora, resolvemos :
Fatorando:
Portanto, as raízes são .

Passo 6

Agora que temos os valores próprios A - I = 0 & -1 & 0 2 & 2 & 2 1 & 1 & 1 , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes para cada 0v1 - v2 + 0v3 = 0 2v1 + 2v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 .
Para cada v = -t 0 t = t -1 0 1 , resolvemos v1 = -1 0 1 .
Vamos fazer isso para cada valor de A - 2I = -1 & -1 & 0 2 & 1 & 2 1 & 1 & 0 :

Para - v1 - v2 = 0 2v1 + v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 = 0 :

2(-v2) + v2 + 2v3 = -2v2 + v2 + 2v3 = -v2 + 2v3 = 0
Vamos resolver o sistema:
v = -2t 2t t = t -2 2 1
Da primeira equação: v2 = -2 2 1 A - 3I = -2 & -1 & 0 2 & 0 & 2 1 & 1 & -1 .
Da terceira equação: -2v1 - v2 = 0 2v1 + 0v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 - v3 = 0 v = t -2t -t = t 1 -2 -1 .
Então, podemos escolher v3 = 1 -2 -1 , onde é um parâmetro.
Portanto, os vetores próprios são:
Podemos escolher para simplificar:

Para :

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Da terceira equação: , que confirma a primeira equação.
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Escolha , então e .
Portanto, os vetores próprios são:
Escolhendo :

Para :

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Da segunda equação: .
Da terceira equação: , que é sempre verdadeira.
Então, podemos escolher , então e .
Portanto, os vetores próprios são:
Escolhendo :

Resposta

Os valores próprios são v1 = -1 0 1 e os respectivos vetores próprios são:
  • Para v2 = -2 2 1 :
    v3 = 1 -2 -1
  • Para :
  • Para :

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