Seja
Podemos definir diversas operações
e.
em
. Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de
um espaço vetorial.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
transformam esse conjunto em um espaço vetorial. A matéria que estamos lidando aqui é sobre espaços vetoriais, e vamos precisar verificar se as operações atendem aos axiomas que definem esse tipo de estrutura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as operações dadas:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Para que
seja um espaço vetorial com essas operações, todas as regras dos espaços vetoriais devem ser satisfeitas. Vamos conferir isso passo a passo.
Passo 3
Vamos começar verificando o elemento neutro da adição, que é aquele vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda o vetor original. Em um espaço vetorial, esse elemento deve ser o vetor
.
Vamos testar:
Veja que, independente do valor de
, o segundo componente fica sempre
. Isso significa que
não atua como o elemento neutro para todos os vetores em
, pois só mantém o primeiro componente igual.
Passo 4
Outro ponto importante é a existência de inversos aditivos. Para cada vetor
, deve existir um vetor
tal que:
Vamos aplicar a operação de adição definida:
Aqui, funciona para qualquer vetor, mas como vimos no passo anterior, o elemento neutro não está funcionando corretamente para o segundo componente.
Passo 5
Além disso, vamos verificar a associatividade da adição. Para quaisquer vetores
,
e
, deve valer:
Aplicando a definição:
Embora pareça que a associatividade seja mantida para a primeira componente, o segundo componente sempre fica
, o que novamente não comporta as propriedades esperadas de um espaço vetorial completo.
Resposta
As operações definidas para a adição não mantêm o vetor original na segunda componente, ou seja, não existe um elemento neutro válido para todos os vetores em
. Por isso,
com essas definições de adição e multiplicação por escalar não forma um espaço vetorial.