Seja V=R^2=(x, y) mid x, y in R Podemos definir diversas operações +: R^2 times R^2 R^2 e. : R times R^2 R^2 em V. Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de R^2 um espaço vetorial.
a) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, 0) lambda(x, y)=(lambda x, lambda y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em R^2 transformam esse conjunto em um espaço vetorial. A matéria que estamos lidando aqui é sobre espaços vetoriais, e vamos precisar verificar se as operações atendem aos axiomas que definem esse tipo de estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações dadas:
  • Adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0)
  • Multiplicação por escalar: lambda(x, y) = (lambda x, lambda y)
Para que R^2 seja um espaço vetorial com essas operações, todas as regras dos espaços vetoriais devem ser satisfeitas. Vamos conferir isso passo a passo.

Passo 3

Vamos começar verificando o elemento neutro da adição, que é aquele vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda o vetor original. Em um espaço vetorial, esse elemento deve ser o vetor (0, 0).
Vamos testar:
(x, y) + (0, 0) = (x + 0, 0) = (x, 0)
Veja que, independente do valor de y, o segundo componente fica sempre 0. Isso significa que (0, 0) não atua como o elemento neutro para todos os vetores em R^2, pois só mantém o primeiro componente igual.

Passo 4

Outro ponto importante é a existência de inversos aditivos. Para cada vetor (x, y), deve existir um vetor (-x, -y) tal que:
(x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
Vamos aplicar a operação de adição definida:
(x, y) + (-x, -y) = (x + (-x), 0) = (0, 0)
Aqui, funciona para qualquer vetor, mas como vimos no passo anterior, o elemento neutro não está funcionando corretamente para o segundo componente.

Passo 5

Além disso, vamos verificar a associatividade da adição. Para quaisquer vetores (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3), deve valer:
((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3))
Aplicando a definição:
((x1 + x2, 0)) + (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, 0)
(x1, y1) + (x2 + x3, 0) = (x1 + x2 + x3, 0)
Embora pareça que a associatividade seja mantida para a primeira componente, o segundo componente sempre fica 0, o que novamente não comporta as propriedades esperadas de um espaço vetorial completo.

Resposta

As operações definidas para a adição não mantêm o vetor original na segunda componente, ou seja, não existe um elemento neutro válido para todos os vetores em R^2. Por isso, R^2 com essas definições de adição e multiplicação por escalar não forma um espaço vetorial.

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