Calcular a velocidade terminal das gotas de chuva de 0,3 mm de diâmetro que caem através do ar a 20^circ C. Considerar as gotas esféricas. Dados: muar=2.10^-5 Pa.s, rhoar=1,206 kg / m^3, rho água =1000 kg / m^3á
R: 1,106 m / s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a velocidade terminal das gotas de chuva que têm um diâmetro de 0,3 mm e estão caindo no ar a 20°C. Esse tipo de problema está relacionado à Mecânica dos Fluidos, mais especificamente ao estudo das forças que atuam sobre objetos que se movem através de um fluido. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da velocidade terminal que envolve propriedades como a viscosidade do ar, as densidades da água e do ar, e o tamanho das gotas de chuva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade terminal. É a velocidade constante que um objeto atinge quando a força da gravidade que puxa ele pra baixo é equilibrada pela resistência do ar que empurra contrário. Ou seja, quando essas duas forças se igualam, o objeto para de acelerar e continua caindo nessa velocidade constante.

Passo 3

A fórmula que vamos usar para calcular a velocidade terminal (vₜ) de uma esfera que cai em um fluido é dada por:
vt = 29 times r^2 times (rhoágua - rhoar) times gmuar á
Onde:
  • é o raio da gota de chuva.
  • á é a densidade da água.
  • é a densidade do ar.
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
  • é a viscosidade dinâmica do ar.

Passo 4

Vamos converter o diâmetro da gota de chuva para o raio. Dado que o diâmetro é 0,3 mm, o raio r = 0,3 , mm2 = 0,15 , mm = 0,15 times 10^-3 , m será metade disso:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, vamos calcular r^2 = (0,15 times 10^-3 , m)^2 = 0,0225 times 10^-6 , m^2 :

Passo 6

Substituindo todos os valores na fórmula:
vt = 29 times 0,0225 times 10^-6 , m^2 times (1000 , kg/m^3 - 1,206 , kg/m^3) times 9,81 , m/s^22 times 10^-5 , Pas

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, calculamos a diferença de densidades:
1000 , kg/m^3 - 1,206 , kg/m^3 = 998,794 , kg/m^3

Passo 8

Agora, multiplicamos os valores no numerador:
0,0225 times 10^-6 , m^2 times 998,794 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 approx 2,205 times 10^-3 , N

Passo 9

Dividindo pelo denominador:
2 times 10^-5 , Pas
Então:
vt = 29 times 2,205 times 10^-32 times 10^-5 = 29 times 110,25 approx 220,59 approx 24,5 , m/s

Resposta

A velocidade terminal das gotas de chuva de 0,3 mm de diâmetro é aproximadamente 24,5 m/s.

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