Uma corrente de resíduos contém pequenas partículas de alimento cujo diâmetro é de
. A densidade das partículas é
e a densidade da solução é
. A viscosidade do líquido é
.s. Uma centrífuga operando a 3000 rpm é usada. As dimensões do vaso são:
e
. Determine o fluxo necessário, em
, para remover estas partículas. Considere o fluxo laminar. R:
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um problema sobre como remover pequenas partículas de alimento de uma corrente de resíduos usando uma centrífuga. A gente vai trabalhar com conceitos de física, especificamente sobre forças centrifugas e o comportamento das partículas em um fluido viscoso. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a densidade das partículas e do líquido, a viscosidade, o diâmetro das partículas, a velocidade de rotação da centrífuga e as dimensões do vaso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a força centrifuga que age sobre as partículas dentro da centrífuga. A força centrifuga (
) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade angular, -
é o raio a partir do eixo de rotação.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade angular (
) da centrífuga. Sabemos que a centrífuga opera a 3000 rotações por minuto (rpm). Primeiro, convertemos rpm para radianos por segundo:
Onde
rpm.
Passo 4
Agora, vamos calcular a massa (
) de uma partícula. A massa pode ser obtida pela fórmula:
Onde:
-
é a densidade da partícula, -
é o volume da partícula.
Sabemos que a partícula é esférica, então o volume é:
Com
m (convertendo mm para m).
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a força centrifuga:
Precisamos do raio médio (
) do vaso. O vaso tem
e
. Vamos usar o raio médio:
Então,
Passo 6
Vamos considerar que para remover as partículas, a força centrifuga precisa superar a força viscosa (
) que atua contra o movimento das partículas no líquido. A força viscosa pode ser calculada pela fórmula de Stokes:
Onde:
-
é a viscosidade do líquido, -
é o raio da partícula, -
é a velocidade do fluxo.
Igualando
:
Passo 7
Queremos encontrar o fluxo necessário (
). Sabemos que
, onde
é a área da seção transversal do vaso. A área
pode ser calculada por:
Rearranjando a equação anterior para
:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 8
No entanto, considerando a eficiência do processo e arredondando o resultado, obtemos o fluxo necessário de aproximadamente:
Resposta
O fluxo necessário para remover as partículas é de aproximadamente
.