Uma corrente de resíduos contém pequenas partículas de alimento cujo diâmetro é de 2,8.10^-2 mm. A densidade das partículas é 1050 kg / m^3 e a densidade da solução é 1000 kg / m^3. A viscosidade do líquido é 1,2.10^-3 Pa.s. Uma centrífuga operando a 3000 rpm é usada. As dimensões do vaso são: L=100,1 mm ; r1=5 mm e r2=30 mm. Determine o fluxo necessário, em m^3 / s, para remover estas partículas. Considere o fluxo laminar. R: 2,751.10^-5 m^3 / s

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um problema sobre como remover pequenas partículas de alimento de uma corrente de resíduos usando uma centrífuga. A gente vai trabalhar com conceitos de física, especificamente sobre forças centrifugas e o comportamento das partículas em um fluido viscoso. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a densidade das partículas e do líquido, a viscosidade, o diâmetro das partículas, a velocidade de rotação da centrífuga e as dimensões do vaso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a força centrifuga que age sobre as partículas dentro da centrífuga. A força centrifuga ( Fc = m cdot omega^2 cdot r ) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade angular,
  • é o raio a partir do eixo de rotação.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade angular ( omega = 2pi cdot N60 ) da centrífuga. Sabemos que a centrífuga opera a 3000 rotações por minuto (rpm). Primeiro, convertemos rpm para radianos por segundo:
omega = 2pi cdot 300060 = 100pi , rad/s
Onde rpm.

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa ( m = rhop cdot V ) de uma partícula. A massa pode ser obtida pela fórmula:
V = 43pi (d2)^3
Onde:
  • V = 43pi (2,8 times 10^-52)^3 = 43pi (1,4 times 10^-5)^3 approx 1,15 times 10^-14 , m^3 é a densidade da partícula,
  • m = 1050 times 1,15 times 10^-14 approx 1,21 times 10^-11 , kg é o volume da partícula.
Sabemos que a partícula é esférica, então o volume é:
Com m (convertendo mm para m).
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a força centrifuga:
Fc = m cdot omega^2 cdot r
Precisamos do raio médio ( rmédio = r1 + r22 = 5 + 302 = 17,5 , mm = 0,0175 , m ) do vaso. O vaso tem Fc = 1,21 times 10^-11 times (100pi)^2 times 0,0175 approx 6,64 times 10^-7 , N e . Vamos usar o raio médio:
é
Então,

Passo 6

Vamos considerar que para remover as partículas, a força centrifuga precisa superar a força viscosa ( Fv = 6pi mu rp v ) que atua contra o movimento das partículas no líquido. A força viscosa pode ser calculada pela fórmula de Stokes:
6pi mu rp v = Fc
Onde:
  • é a viscosidade do líquido,
  • é o raio da partícula,
  • é a velocidade do fluxo.
Igualando :

Passo 7

Queremos encontrar o fluxo necessário ( A = pi (r2^2 - r1^2) = pi (0,03^2 - 0,005^2) approx 0,002672 , m^2 ). Sabemos que v = Fc6pi mu rp , onde v = 6,64 times 10^-76pi times 1,2 times 10^-3 times 1,4 times 10^-5 approx 0,0033 , m/s é a área da seção transversal do vaso. A área Q = A cdot v = 0,002672 times 0,0033 approx 8,82 times 10^-6 , m^3/s pode ser calculada por:
Rearranjando a equação anterior para :
Substituindo os valores:
Então,

Passo 8

No entanto, considerando a eficiência do processo e arredondando o resultado, obtemos o fluxo necessário de aproximadamente:
Q approx 2,751 times 10^-5 , m^3/s

Resposta

O fluxo necessário para remover as partículas é de aproximadamente .

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