Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: integral cos ^2(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é da matéria de Cálculo, especificamente sobre integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada fórmula de redução para potências de funções trigonométricas, que nos ajuda a simplificar integrais que envolvem potências de senos ou cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cos^2(x) = 1 + cos(2x)2 é uma função que está ao quadrado, e integrar diretamente pode não ser tão simples. Para facilitar, usamos a identidade trigonométrica de potência dupla, que diz:
Essa identidade nos permite reescrever de uma forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos integral cos^2(x) , dx = integral 1 + cos(2x)2 , dx na integral original pela expressão que obtivemos:
= 12 integral 1 , dx + 12 integral cos(2x) , dx
Podemos simplificar esse integral dividindo cada termo por 2:

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. A primeira integral é simples:
12 integral 1 , dx = 12x
Para a segunda integral, integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C , usamos uma substituição simples. Sabemos que:
12 integral cos(2x) , dx = 12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4
No nosso caso, , então:

Resposta

Juntando as duas partes que integramos, temos a solução final:
integral cos^2(x) , dx = x2 + sin(2x)4 + C
Onde é a constante de integração.

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