Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício é da matéria de Cálculo, especificamente sobre integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada fórmula de redução para potências de funções trigonométricas, que nos ajuda a simplificar integrais que envolvem potências de senos ou cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma função que está ao quadrado, e integrar diretamente pode não ser tão simples. Para facilitar, usamos a identidade trigonométrica de potência dupla, que diz:
Essa identidade nos permite reescrever
de uma forma que seja mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, substituímos
na integral original pela expressão que obtivemos:
Podemos simplificar esse integral dividindo cada termo por 2:
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. A primeira integral é simples:
Para a segunda integral,
, usamos uma substituição simples. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Resposta
Juntando as duas partes que integramos, temos a solução final:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) .
(a)
Calcular o volume do sólido limitado por
, os planos coordenadados e o plano
.
Calcule:
, onde
.
Calcule a soma das séries abaixo.
(a)
(a)