Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é da matéria de Cálculo, especificamente sobre integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada fórmula de redução para potências de funções trigonométricas, que nos ajuda a simplificar integrais que envolvem potências de senos ou cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função que está ao quadrado, e integrar diretamente pode não ser tão simples. Para facilitar, usamos a identidade trigonométrica de potência dupla, que diz:
Essa identidade nos permite reescrever de uma forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos na integral original pela expressão que obtivemos:
Podemos simplificar esse integral dividindo cada termo por 2:

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, , usamos uma substituição simples. Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Resposta

Juntando as duas partes que integramos, temos a solução final:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) .
Calcular o volume do sólido limitado por , os planos coordenadados e o plano .
Calcule: , onde .
Calcule a soma das séries abaixo.
(a)