Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas: e ;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é delimitado por três superfícies: a parábola , a reta e o plano horizontal . Basicamente, vamos usar cálculo de volumes envolvendo integrais duplas. Vamos precisar lembrar como configurar os limites de integração e usar a fórmula de integração para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies. A curva é uma parábola que abre para cima no plano xy. A reta é uma linha horizontal que corta a parábola. O plano define a altura do sólido.
Para encontrar a região no plano xy que vamos integrar, precisamos descobrir onde a parábola e a reta se encontram. Igualando e , temos:
Então, a região de integração no plano xy vai de até e de até .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume será a integral da altura sobre a região no plano xy. Já que varia de até , a altura é constante e igual a .
A fórmula da integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :