II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. A matéria envolvida aqui é Séries de Maclaurin, que são séries de potências centradas em zero. Para resolver, vamos precisar entender como expandir frações desse tipo em séries e determinar até onde essa série é válida, ou seja, seu raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica, que é uma série bem conhecida:
Aqui,
é a razão que está sendo elevada à potência
. Nosso objetivo é colocar a função
em uma forma que se pareça com essa série geométrica.
Passo 3
Vamos reescrever a função
de maneira que possamos aplicar a série geométrica. Note que podemos fatorar:
Agora, se compararmos com a série geométrica
, vemos que podemos identificar
. Assim, podemos substituir na série geométrica.
Passo 4
Substituindo
na série geométrica, temos:
Lembre-se que essa série converge quando
, ou seja, quando
.
Passo 5
Agora, multiplicamos a série resultante por
para obter
:
Então, a série de Maclaurin de
é:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência, observamos a condição de convergência da série geométrica original, que era
. Portanto, o raio de convergência da nossa série de Maclaurin também é 1.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o raio de convergência dessa série é 1.
Exercícios relacionados
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
a)
a)
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
e) .
e)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
g)
g)
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e
;