II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
b) f(x) = x / (1 - x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a série de Maclaurin e o raio de convergência da função . A matéria envolvida aqui é Séries de Maclaurin, que são séries de potências centradas em zero. Para resolver, vamos precisar entender como expandir frações desse tipo em séries e determinar até onde essa série é válida, ou seja, seu raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica, que é uma série bem conhecida:
Aqui, é a razão que está sendo elevada à potência . Nosso objetivo é colocar a função em uma forma que se pareça com essa série geométrica.

Passo 3

Vamos reescrever a função de maneira que possamos aplicar a série geométrica. Note que podemos fatorar:
Agora, se compararmos com a série geométrica , vemos que podemos identificar . Assim, podemos substituir na série geométrica.

Passo 4

Substituindo na série geométrica, temos:
Lembre-se que essa série converge quando , ou seja, quando .

Passo 5

Agora, multiplicamos a série resultante por para obter :
Então, a série de Maclaurin de é:

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência, observamos a condição de convergência da série geométrica original, que era . Portanto, o raio de convergência da nossa série de Maclaurin também é 1.

Resposta

A série de Maclaurin de é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

Exercícios relacionados

Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
a) f(x)=e^(2 x)
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
e) sumn=1^infty n^3(2 x-43)^n.
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
g) f(x) = x * e^(x^2)
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas: y = x^2, y = 4 e z = 4;