Uma indústria comercializa um produto e tem função de custo total dada por C_T = q^2 + 20*q + 475. A receita total é R = 120 q. Calcule:
O valor de q para que o lucro seja máximo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre função de custo total e receita total de uma indústria que vende um produto. A gente vai precisar entender de funções quadráticas e como maximizar o lucro, que é a diferença entre a receita e o custo. Então, bora calcular o valor de (quantidade vendida) que faz o lucro ser o maior possível!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lucro é calculado subtraindo o custo total da receita total. Matemáticamente, isso fica assim:
Onde:
  • é o lucro
  • é a receita total
  • é o custo total

Passo 3

Agora, vamos substituir as funções que já estão dadas no enunciado:
Substituindo na fórmula do lucro:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão para facilitar nosso trabalho:
Combinando os termos semelhantes:

Passo 5

A função lucro é uma função quadrática do tipo , onde:
Como o coeficiente de ( ) é negativo, sabemos que essa parábola abre para baixo, o que significa que o lucro tem um máximo.

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Substituindo os valores:

Resposta

O valor de que faz o lucro ser máximo é 50 unidades.

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