Uma indústria comercializa um produto e tem função de custo total dada por
. A receita total é
. Calcule:
O valor de
para que o lucro seja máximo
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre função de custo total e receita total de uma indústria que vende um produto. A gente vai precisar entender de funções quadráticas e como maximizar o lucro, que é a diferença entre a receita e o custo. Então, bora calcular o valor de
(quantidade vendida) que faz o lucro ser o maior possível!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o lucro é calculado subtraindo o custo total da receita total. Matemáticamente, isso fica assim:
Onde:
-
é o lucro -
é a receita total -
é o custo total
Passo 3
Agora, vamos substituir as funções que já estão dadas no enunciado:
Substituindo na fórmula do lucro:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão para facilitar nosso trabalho:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 5
A função lucro
é uma função quadrática do tipo
, onde:
Como o coeficiente de
(
) é negativo, sabemos que essa parábola abre para baixo, o que significa que o lucro tem um máximo.
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Substituindo os valores:
Resposta
O valor de
que faz o lucro ser máximo é 50 unidades.
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e
;
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
A função de demanda de um produto é dada por
. Determine o preço praticado para que a receita seja máxima.