Ao calcularmos a derivada da função f(x) = x².x³ (pela definição) para x = 1, encontramos como resultado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada da função $ f(x) = x^2 \cdot x^3 $ usando a definição de derivada, especificamente para $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição básica dela.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $. Temos:
f(x)
Então, a função simplificada é $ f(x) = x^5 $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de $ f(x) $ em um ponto $ a $ é dada por:
f(x)
No nosso caso, queremos calcular $ f’(1) $. Então, substituímos $ a $ por 1:
a

Passo 4

Vamos calcular $ f(1+h) $ e $ f(1) $:
f(1+h)
f(1)
Substituindo na expressão da derivada:
f(1+h) = (1+h)^5

Passo 5

Agora, expandimos $ (1+h)^5 $ usando o binômio de Newton:
(1+h)^5
Subtraindo 1:
(1+h)^5 = 1 + 5h + 10h^2 + 10h^3 + 5h^4 + h^5
Então, a expressão da derivada fica:
(1+h)^5 - 1 = 5h + 10h^2 + 10h^3 + 5h^4 + h^5

Passo 6

Dividindo cada termo do numerador por $ h $:
h
Como $ h $ tende a 0, todos os termos que contêm $ h $ vão a 0, restando apenas:
f'(1) = limh to 0 (5 + 10h + 10h^2 + 5h^3 + h^4)

Resposta

f'(1) = 5

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