Calcule
13) integral0^pi / 4 cos ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integração de funções trigonométricas, especificamente o cosseno ao quadrado. Para facilitar a integração, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar o cosseno ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o cosseno ao quadrado em uma forma mais amigável para integrar. A identidade é:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Isso é super útil porque agora podemos integrar termos mais simples.

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade na nossa integral. Aqui, cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2 é igual a integral0^pi / 4 1 + cos(4x)2 , dx , então substituindo, temos:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi / 4 12 , dx + integral0^pi / 4 cos(4x)2 , dx
Agora, vamos integrar cada parte individualmente.

Passo 5

Integrando a primeira parte:
integral 12 , dx = x2
E integrando a segunda parte:
integral cos(4x)2 , dx = sin(4x)8

Passo 6

Agora, somamos as integrais:
x2 + sin(4x)8
E precisamos avaliar isso entre os limites de 0 e .

Passo 7

Vamos substituir pi/42 + sin(pi)8 = pi8 + 0 = pi8 :
02 + sin(0)8 = 0 + 0 = 0
E substituir :

Resposta

pi8

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