Calcule
40) integral sin ^2 2 x cos ^2 3 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que podemos expressar sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 e cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 usando as seguintes identidades:
Essas identidades vão nos ajudar a transformar a integral em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicando as identidades às funções dentro da integral:
sin^2 2x = 1 - cos 4x2
cos^2 3x = 1 + cos 6x2
Substituindo na integral original:
integral ( 1 - cos 4x2 ) ( 1 + cos 6x2 ) dx

Passo 4

Multiplicamos os termos dentro dos parênteses:
( 1 - cos 4x2 ) ( 1 + cos 6x2 ) = 1 cdot 1 + 1 cdot cos 6x - cos 4x cdot 1 - cos 4x cdot cos 6x4
= 1 + cos 6x - cos 4x - cos 4x cos 6x4

Passo 5

Simplificamos a expressão:
integral ( 1 + cos 6x - cos 4x - cos 4x cos 6x4 ) dx = 14 integral (1 + cos 6x - cos 4x - cos 4x cos 6x ) dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
14 ( integral 1 , dx + integral cos 6x , dx - integral cos 4x , dx - integral cos 4x cos 6x , dx )

Passo 7

Calculamos as integrais individuais:
integral 1 , dx = x
integral cos 6x , dx = sin 6x6
integral cos 4x , dx = sin 4x4
Para cos A cos B = cos(A+B) + cos(A-B)2 , usamos a identidade do produto de cossenos:
cos 4x cos 6x = cos 10x + cos (-2x)2 = cos 10x + cos 2x2
Aplicando:
integral cos 4x cos 6x , dx = 12 integral cos 10x , dx + 12 integral cos 2x , dx = sin 10x20 + sin 2x4
Então:

Passo 8

Substituindo todas as integrais de volta:
14 ( x + sin 6x6 - sin 4x4 - ( sin 10x20 + sin 2x4 ) ) + C
Simplificando:
14 ( x + sin 6x6 - sin 4x4 - sin 10x20 - sin 2x4 ) + C

Resposta

x4 + sin 6x24 - sin 4x16 - sin 10x80 - sin 2x16 + C

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