Usando a Té́miea de Mudança de variável, encentre integral0^1(x-1)^5 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Teoria de Mudança de Variável. Basicamente, vamos substituir uma parte da integral por uma outra variável para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição. Vamos definir . Essa escolha é legal porque a expressão dentro do parênteses da integral é exatamente , e ao substituir por , a integral vai ficar mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = dudx , dx = 1 , dx Rightarrow du = dx , que é a derivada de em relação a . Então:
Ou seja, . Isso significa que podemos substituir por na integral.

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração para a nova variável u = 0 - 1 = -1 . Quando u = 1 - 1 = 0 :
E quando :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral0^1(x-1)^5 , dx = integral-1^0u^5 , du :
Isso simplifica a integral, pois agora temos uma potência simples de .

Passo 6

Vamos calcular a integral u^66 . A antiderivada de u^66 |-1^0 = 0^66 - (-1)^66 = 0 - 16 = -16 é:
Agora, aplicamos os limites de integração:

Resposta

A integral é igual a .

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