Calcule a 2022 a derivada das funções seguintes: f(x) = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a 2022ª derivada da função . Isso envolve o estudo de derivadas repetidas, ou seja, derivar a mesma função muitas vezes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as derivadas das funções trigonométricas básicas e identificar um padrão que facilita o cálculo quando temos que derivar muitas vezes, como no caso da 2022ª derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso, . Quando derivamos uma função várias vezes, estamos calculando derivadas de ordens superiores.

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas de :
  1. Primeira derivada:
    Aqui, usamos a regra básica de que a derivada de é .
  2. Segunda derivada:
    A derivada de é .
  3. Terceira derivada:
    Derivando , obtemos .
  4. Quarta derivada:
    A derivada de volta a ser .

Passo 4

Percebemos que, após quatro derivadas, voltamos à função original . Isso significa que as derivadas de se repetem em ciclos de quatro:

Passo 5

Agora, para encontrar a 2022ª derivada, precisamos descobrir em qual posição do ciclo de 4 ela está. Fazemos isso calculando o resto da divisão de 2022 por 4:
Isso significa que .

Passo 6

Consultando o nosso ciclo de derivadas, quando :

Resposta

A 2022ª derivada de é .

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