Calcule a 2022
derivada das funções seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a 2022ª derivada da função . Isso envolve o estudo de derivadas repetidas, ou seja, derivar a mesma função muitas vezes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as derivadas das funções trigonométricas básicas e identificar um padrão que facilita o cálculo quando temos que derivar muitas vezes, como no caso da 2022ª derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso,
. Quando derivamos uma função várias vezes, estamos calculando derivadas de ordens superiores.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas de :
-
Primeira derivada:Aqui, usamos a regra básica de que a derivada de é
. -
Segunda derivada:A derivada de
é . -
Terceira derivada:Derivando , obtemos
. -
Quarta derivada:A derivada de
volta a ser .
Passo 4
Percebemos que, após quatro derivadas, voltamos à função original . Isso significa que as derivadas de se repetem em ciclos de quatro:
Passo 5
Agora, para encontrar a 2022ª derivada, precisamos descobrir em qual posição do ciclo de 4 ela está. Fazemos isso calculando o resto da divisão de 2022 por 4:
Isso significa que
.
Passo 6
Consultando o nosso ciclo de derivadas, quando
:
Resposta
A 2022ª derivada de é .
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. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado.
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Calcule
.