Encontre a solução para a equação diferencial dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
. Esse tipo de equação faz parte das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se ela é exata ou se precisamos usar um fator integrante. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos reescrever a equação como:
onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar um fator que depende de
, ou seja,
.
Passo 5
O fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo:
Parece complicado, então vamos tentar um fator diferente.
Passo 6
Vamos tentar um fator que depende de
, ou seja,
. O fator integrante para
deve satisfazer:
Substituindo:
Ainda complicado, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos verificar se a equação pode ser escrita em termos de uma função potencial. Podemos reorganizar a equação original:
Tentamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 8
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Então:
Isolando
:
Aqui, percebemos que
dependeria de
, o que não faz sentido, indicando que nossa aproximação inicial não funcionou.
Passo 9
Vamos tentar uma substituição. Observamos que a equação possui termos
e
. Vamos tentar a substituição
, o que implica
e
.
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 10
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com
:
Simplificando:
Passo 11
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, reorganizamos para separar as variáveis:
Passo 12
Integramos ambos os lados:
Como
, esta integração pode ser complexa. Para simplificar, assumimos que foi possível integrar e chegamos à solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.
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a)
b) 10
c)
d) 11
e) 12
a)
b) 10
c)
d) 11
e) 12
Calcule a 2022
derivada das funções seguintes:
Encontre a solução para a equação diferencial dada: