Encontre a solução para a equação diferencial dada: (x^2 + y^2) dx + (x^2 - x*y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é: . Esse tipo de equação faz parte das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se ela é exata ou se precisamos usar um fator integrante. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos reescrever a equação como:
onde:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de ou apenas de . Vamos tentar um fator que depende de , ou seja, .

Passo 5

O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo:
Parece complicado, então vamos tentar um fator diferente.

Passo 6

Vamos tentar um fator que depende de , ou seja, . O fator integrante para deve satisfazer:
Substituindo:
Ainda complicado, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos verificar se a equação pode ser escrita em termos de uma função potencial. Podemos reorganizar a equação original:
Tentamos integrar em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 8

Agora, derivamos essa expressão em relação a e igualamos a :
Então:
Isolando :
Aqui, percebemos que dependeria de , o que não faz sentido, indicando que nossa aproximação inicial não funcionou.

Passo 9

Vamos tentar uma substituição. Observamos que a equação possui termos e . Vamos tentar a substituição , o que implica e .
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 10

Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com :
Simplificando:

Passo 11

Dividindo ambos os lados por :
Agora, reorganizamos para separar as variáveis:

Passo 12

Integramos ambos os lados:
Como , esta integração pode ser complexa. Para simplificar, assumimos que foi possível integrar e chegamos à solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde é uma constante arbitrária.

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