Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm². Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa de papelão sem tampa que tem um volume de . Nosso objetivo é minimizar a quantidade de papelão usado, ou seja, minimizar a área de superfície da caixa. Para isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar de o comprimento, a largura e a altura da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área de superfície total que precisamos minimizar é dada por:

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é:
Para simplificar nossos cálculos, vamos assumir que a base da caixa é quadrada, ou seja, . Isso geralmente facilita na hora de minimizar a área.

Passo 4

Com , o volume fica:
Desse jeito, podemos expressar a altura em função de :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da área de superfície:
Substituindo :

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza a área , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação:

Passo 8

Com , podemos encontrar :

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de papelão utilizado são:
  • Comprimento:
  • Largura:
  • Altura:

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