Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de
. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa de papelão sem tampa que tem um volume de
. Nosso objetivo é minimizar a quantidade de papelão usado, ou seja, minimizar a área de superfície da caixa. Para isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar de
o comprimento,
a largura e
a altura da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área de superfície total
que precisamos minimizar é dada por:
Passo 3
Sabemos que o volume
da caixa é:
Para simplificar nossos cálculos, vamos assumir que a base da caixa é quadrada, ou seja,
. Isso geralmente facilita na hora de minimizar a área.
Passo 4
Com
, o volume fica:
Desse jeito, podemos expressar a altura
em função de
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da área de superfície:
Substituindo
:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza a área
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Passo 8
Com
, podemos encontrar
:
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de papelão utilizado são:
- Comprimento:
- Largura:
- Altura:
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Um observador parado vê um prédio em um terreno plano sob o ângulo de
. Depois ele se afasta 20 m e vê o mesmo prédio sob um ângulo de
distância inicial, em metros, entre o observador e o prédio é:
a)
b) 10
c)
d) 11
e) 12
a)
b) 10
c)
d) 11
e) 12
Calcule a integral de linha
, em que
consiste:
(b) no segmento de reta que une os pontos e
.
(b) no segmento de reta que une os pontos
Encontre a solução para a equação diferencial dada:
Calcule a 2022
derivada das funções seguintes: