Calcule
65) integral tan ^5 x sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o tangente e o secante. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável mais simples. Olha só, temos e . Sabemos que a derivada de é , então isso é um bom sinal para usar substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = sec^2 x , dx . Agora, precisamos achar . Derivando ambos os lados, temos:
Perfeito! Agora, podemos substituir por e por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral tan^5 x sec^2 x , dx = integral u^5 , du
Agora, a integral está muito mais simples!

Passo 5

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^5 , du = u^66 + C . A regra básica de integração diz que:
Aplicando isso aqui:

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original u^66 + C = tan^6 x6 + C . Lembrando que fizemos , então:

Resposta

A integral é igual a .

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