Calcule a ação de
sobre a mesma função de onda
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma função de onda dada por
e precisamos calcular a ação do operador de momento
sobre essa função. Para isso, vamos utilizar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente sobre operadores e derivadas, já que o operador de momento está relacionado com a derivada da função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma do operador de momento
na representação de posição. Ele é dado por:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida, e
representa a derivada em relação a
.
Passo 3
Agora, aplicamos o operador
sobre a função de onda
:
Isso significa que precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial:
Então,
Passo 5
Substituindo a derivada de volta na expressão do operador de momento:
Os sinais negativos se cancelam:
Resposta
A ação do operador de momento
sobre a função de onda
resulta em:
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para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
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.
Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região
integrando
: