Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y(t)=e^r t y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial juntos! A gente precisa encontrar os valores de que fazem com que a função seja uma solução da equação diferencial . Para isso, vamos usar conhecimentos básicos de equações diferenciais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função exponencial, e para encontrar a sua derivada em relação a , usamos a regra da derivada da exponencial. A derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos substituir r e^r t + 2 e^r t = 0 e na equação diferencial dada :

Passo 4

Podemos fatorar e^r t (r + 2) = 0 da equação:
Como nunca é zero para nenhum valor de , a única maneira da equação ser verdadeira é se o fator for igual a zero.

Passo 5

Então, vamos resolver para r + 2 = 0 implies r = -2 :

Resposta

O valor de que satisfaz a equação é .

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