Calcule a aceleração e velocidade angulares em de uma polia inicialmente em repouso com de raio, momento de inércia de relação a seu eixo e que é submetida a uma força tangencial (SI).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma polia que está inicialmente em repouso e queremos calcular sua aceleração angular e velocidade angular no tempo . Para isso, precisamos entender conceitos como torque, momento de inércia e as relações entre força tangencial, aceleração angular e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o torque ( ) aplicado à polia. O torque é dado pela força tangencial ( ) multiplicada pelo raio ( ) da polia:
Aqui, o raio .

Passo 3

A força tangencial varia com o tempo e é dada por:
Vamos substituir isso na fórmula do torque:

Passo 4

Calculamos o torque no tempo :

Passo 5

Agora, usamos a relação entre torque e aceleração angular ( ):
Onde é o momento de inércia da polia. Resolvendo para :

Passo 6

Para encontrar a velocidade angular ( ) no tempo , usamos a relação entre aceleração angular e velocidade angular. Como a polia parte do repouso, a velocidade angular é a integral da aceleração angular em relação ao tempo:
Substituindo :
No entanto, já calculamos como constante no tempo . Assumindo que a aceleração foi constante (para simplificação), podemos calcular como:

Resposta

A aceleração angular da polia em é e a velocidade angular é .

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