Calcule a aceleração e velocidade angulares em t=4,0 s de uma polia inicialmente em repouso com 15 cm de raio, momento de inércia de 2,0 times 10^-2 kg m^2 em relação a seu eixo e que é submetida a uma força tangencial F=0,04 t^2+0,16 t (SI).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma polia que está inicialmente em repouso e queremos calcular sua aceleração angular e velocidade angular no tempo . Para isso, precisamos entender conceitos como torque, momento de inércia e as relações entre força tangencial, aceleração angular e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o torque ( tau = F cdot r ) aplicado à polia. O torque é dado pela força tangencial ( ) multiplicada pelo raio ( ) da polia:
Aqui, o raio .

Passo 3

A força tangencial F(t) = 0,04 t^2 + 0,16 t varia com o tempo e é dada por:
tau(t) = (0,04 t^2 + 0,16 t) cdot 0,15
Vamos substituir isso na fórmula do torque:

Passo 4

Calculamos o torque no tempo tau(4) = (0,04 cdot 4^2 + 0,16 cdot 4) cdot 0,15 :
tau(4) = (0,04 cdot 16 + 0,16 cdot 4) cdot 0,15
tau(4) = (0,64 + 0,64) cdot 0,15
tau(4) = 1,28 cdot 0,15 = 0,192 , Ncdotm

Passo 5

Agora, usamos a relação entre torque e aceleração angular ( tau = I cdot alpha ):
alpha = tauI = 0,1922,0 times 10^-2 = 9,6 , rad/s^2
Onde é o momento de inércia da polia. Resolvendo para :

Passo 6

Para encontrar a velocidade angular ( omega(t) = integral alpha(t) , dt ) no tempo omega(t) = integral tau(t)I , dt = integral 0,04 t^2 + 0,16 t0,02 cdot 0,15 , dt , usamos a relação entre aceleração angular e velocidade angular. Como a polia parte do repouso, a velocidade angular é a integral da aceleração angular em relação ao tempo:
omega = alpha cdot t = 9,6 cdot 4 = 38,4 , rad/s
Substituindo :
No entanto, já calculamos como constante no tempo . Assumindo que a aceleração foi constante (para simplificação), podemos calcular como:

Resposta

A aceleração angular da polia em é e a velocidade angular é .

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