Uma bolinha realiza um movimento circular com centro na origem e velocidade angular constante. Se num determinado instante do movimento ela se localiza no ponto : com velocidade dada pelo vetor , determine o vetor velocidade angular. (coordenadas em metros e velocidade em metros por segundo)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bolinha que está fazendo um movimento circular com o centro na origem e com velocidade angular constante. No instante que a bolinha está no ponto e tem uma velocidade representada pelo vetor . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor de velocidade angular . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no movimento circular, a velocidade linear () da bolinha está relacionada à velocidade angular () e ao vetor posição () pela seguinte relação de produto vetorial:
Aqui, representa o produto vetorial entre os vetores.
Passo 3
Vamos identificar os vetores que temos:
Velocidade linear: (em metros por segundo)
Posição: (em metros)
Como o movimento é circular no plano e a velocidade angular é constante, podemos concluir que o vetor está perpendicular a esse plano, ou seja, na direção do eixo . Portanto, podemos escrever como:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que . Então, podemos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Vamos resolver a primeira equação para encontrar :