Uma bolinha realiza um movimento circular com centro na origem e velocidade angular constante. Se num determinado instante do movimento ela se localiza no ponto : com velocidade dada pelo vetor , determine o vetor velocidade angular. (coordenadas em metros e velocidade em metros por segundo)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bolinha que está fazendo um movimento circular com o centro na origem e com velocidade angular constante. No instante que a bolinha está no ponto e tem uma velocidade representada pelo vetor . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor de velocidade angular . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento circular, a velocidade linear ( ) da bolinha está relacionada à velocidade angular ( ) e ao vetor posição ( ) pela seguinte relação de produto vetorial:
Aqui, representa o produto vetorial entre os vetores.

Passo 3

Vamos identificar os vetores que temos:
  • Velocidade linear: (em metros por segundo)
  • Posição: (em metros)
Como o movimento é circular no plano e a velocidade angular é constante, podemos concluir que o vetor está perpendicular a esse plano, ou seja, na direção do eixo . Portanto, podemos escrever como:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Resolvendo o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que . Então, podemos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Vamos resolver a primeira equação para encontrar :

Resposta

O vetor velocidade angular é .

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