Uma bolinha realiza um movimento circular com centro na origem e velocidade angular constante. Se num determinado instante do movimento ela se localiza no ponto P1 : (1,5 ; 2 ; 0) com velocidade dada pelo vetor v=(-4 ; 3 ; 0), determine o vetor velocidade angular. (coordenadas em metros e velocidade em metros por segundo)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bolinha que está fazendo um movimento circular com o centro na origem e com velocidade angular constante. No instante que a bolinha está no ponto e tem uma velocidade representada pelo vetor . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor de velocidade angular . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento circular, a velocidade linear ( v = omega times r ) da bolinha está relacionada à velocidade angular ( ) e ao vetor posição ( ) pela seguinte relação de produto vetorial:
Aqui, representa o produto vetorial entre os vetores.

Passo 3

Vamos identificar os vetores que temos:
  • Velocidade linear: omega = (0, 0, omegaz) (em metros por segundo)
  • Posição: (em metros)
Como o movimento é circular no plano e a velocidade angular é constante, podemos concluir que o vetor está perpendicular a esse plano, ou seja, na direção do eixo . Portanto, podemos escrever como:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial omega times r = i & j & k 0 & 0 & omegaz 1.5 & 2 & 0 :
omega times r = (omegaz cdot 2 - 0 cdot 0) i - (omegaz cdot 1.5 - 0 cdot 0) j + (0 cdot 2 - 0 cdot 1.5) k
Resolvendo o determinante:
omega times r = (2omegaz, -1.5omegaz, 0)
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que 2omegaz = -4 -1.5omegaz = 3 0 = 0 . Então, podemos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
2omegaz = -4 Rightarrow omegaz = -42 Rightarrow omegaz = -2 rad/s
Vamos resolver a primeira equação para encontrar :

Resposta

O vetor velocidade angular é .

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